单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 是连续函数, $F(x)=\int_{-x^2}^0 f(t) a t$, 则 $F^{\prime}(x)=$
$\text{A.}$ $f\left(-x^2\right)$
$\text{B.}$ $-f\left(-x^2\right)$
$\text{C.}$ $2 x f\left(-x^2\right)$
$\text{D.}$ $-2 x f\left(-x^2\right)$
由曲线 $y=e^x$ 与直线 $x=1 、 y=1$ 所围成的图形的面积为
$\text{A.}$ $\int_0^1\left(e^x-1\right) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1\left(1-e^x\right) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 e^x d x$
$\text{D.}$ $\int_0^1\left(e^x+1\right) d x$
在空间直角坐标系下, 下列曲面方程中为平面方程的是
$\text{A.}$ $y-2 x^2=0$
$\text{B.}$ $x^2+y^2-z+1=0$
$\text{C.}$ $2 x+y+6 z+5=0$
$\text{D.}$ $\sin x-x y=0$
设函数 $z=f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^2 y}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2+y^2=0\end{array}\right.$, 则 $z=f(x, y)$ 在点 $P(0,0)$
$\text{A.}$ 连续
$\text{B.}$ 不连续
$\text{C.}$ 不能确定连续性
$\text{D.}$ 不存在
设 $z=x^y$, 则有
$\text{A.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}=x^y \ln x$
$\text{B.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}=y x^{j-1} d x$
$\text{C.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}=x^y$
$\text{D.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}=y x^{j-1}$
设二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某领域内存在连续的二阶偏导数 $f_x^{\prime} 、 f_{x y}^{\prime \prime} 、 f_{y y}^{\prime \prime}$,且点 $\left(x_0, y_0\right)$ 是驻点, 当 $f_{x y}^{\prime 2}\left(x_0, y_0\right) < f_{y y}^{\prime \prime}\left(x_0, y_0\right) f_{xx}^{\prime \prime}\left(x_0, y_0\right)$, 且 $f_{y y}^{\prime}\left(x_0, y_0\right) < 0$ 时,下列结论正确的是
$\text{A.}$ $f\left(x_0, y_0\right)$ 不是极值
$\text{B.}$ $f\left(x_0, y_0\right)$ 是极小值
$\text{C.}$ $f\left(x_0, y_0\right)$ 是极大值
$\text{D.}$ 不能判断 $f\left(x_0, y_0\right)$ 是否为极值
设区域 D 是圆 $x^2+y^2 \leq 4$ 的第二、三象限部分, 二重积分 $\iint_D x y d \sigma=$
$\text{A.}$ $2 \int_{-2}^0 d x \int_0^{\sqrt{4 x^2}} x y d y$
$\text{B.}$ $\int_{-2}^0 d x \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} x y d y$
$\text{C.}$ $\int_0^2 d x \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-z^2}} x y d y$
$\text{D.}$ $2 \int_0^2 d x \int_0^{\sqrt{4-x^2}} x y d y$
若级数 $\sum_{n=1}^N 3 u_n$ 收敛, 则下述结论中不正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\equiv}\left|u_n\right|$ 敛散不确定
若函数 $y=x e^x$ 是方程 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 解, 则 $y=x e^x+C$ (C为任意常数)
$\text{A.}$ 是 $F(x, y, y)=0$ 的通解
$\text{B.}$ 是 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 的特解
$\text{C.}$ 不是 $F(x, y, y)=0$ 的通解
$\text{D.}$ 不能确定是否为 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 的解
设 $k$ 为任意常数, 微分方程 $y^{\prime}=2 x \tan y$ 的通解是
$\text{A.}$ $-\ln \sin y=x^2+k$
$\text{B.}$ $\quad \sin y=k e^{z^2} \quad(k \neq 0)$
$\text{C.}$ $\ln \sin y=k x^2$
$\text{D.}$ $\ln k \sin y=x^2(k>0)$
关于级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n^p$ 收敛性, 下述结论中正确的是
$\text{A.}$ $0 < p < 1$ 时收敛
$\text{B.}$ $p>1$ 时收敛
$\text{C.}$ $-1 < p < 0$ 时绝对收敛
$\text{D.}$ $p < -1$ 时收敛
若函数 $z=f(u)$ 二阶可导, 且 $u =3 e^y+2 x$, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
$\text{A.}$ $6 x f''$
$\text{B.}$ $6 e^y f^{''}$
$\text{C.}$ $3 e^y f^{''}$
$\text{D.}$ $2 f''$
填空题 （共 11 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
计算$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\int_1^x \sqrt{1+t^2} d t}{x^2}$
定积分 $\int_{-\pi}^\pi \cos x \sin x d x=$
广义积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^3} d x=$
二元函数 $z=\arctan (x-y)+\sqrt{x^2 y}$ 的定义域是
设函数 $z=f(x+y, x y)=x^2+y^2+3 x y+5$, 则 $z=f(x, y)=$.
设函数 $z=\arcsin (x y)$, 则 $d z=$.
设二重积分的积分区域 D 是由 $4 \leq x^2+y^2 \leq 9$ 围成, 则 $\iint_D d x d y=$.
交换积分次序后, $I=\int_0^{\frac{1}{2}} d x \int_{1-x}^1 f(x, y) d y=$.
微分方程 $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=0$ 的通解为函数
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^n$ 的和
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1) 3^n} x^n$ 的收敛半径为 $R=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
定积分 $\int_{1 / 3 \pi}^{1 / 2 \pi} \frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x} d x$.
计算二重积分 $\iint_D x e^y d \sigma$, 其中 $D$ 是由 $y=\ln (x+1) 、 x$ 轴, $x=2$ 所围成的区域.
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^2}(2 x)^n$ 的收敛区域.
求微分方程 $y^{\prime}+y=e^x$ 的通解.
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y=e^z-z$ 所确定, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1+e^x} & x < 0 \\ \frac{1}{1+x} & x \geq 0\end{array}\right.$, 求 $\int_{-1}^1 f(x) d x$
设 S 是由曲线 $y=x^2$ 与 $y=4 x-x^2$ 围成的一平面图形, 求:
(1) 平面图形 $S$ 的面积;
(2) 平面图形 S 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积 V.
某厂准备生产甲、乙两种产品, 已知甲、乙的产量分别为 $x, y$ 件时, 总成本为 $C(x, y)=100+2 x+3 y+0.01\left(x^2+x y+y^2\right)$ （元）, 且每件售价分别为 8 元和 9 元.问两种产品各生产多少件时, 该厂可获得最大利润?
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
若函数 $f(x)=\int_0^x f(t) d x$, 求证: $f(x)=0$.
证明无穷级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{n!}{n^2}$ 收敛.