单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为
若随机事件 $\{X=0\}$ 与 $\{X+Y=1\}$ 相互独立，则（ ）．
$\text{A.}$ $a=0.2, b=0.3$
$\text{B.}$ $a=0.1, b=0.4$
$\text{C.}$ $a=0.3, b=0.2$
$\text{D.}$ $a=0.4, b=0.1$
设二维随机变量 $\left(X_1, Y_1\right)$ 和 $\left(X_2, Y_2\right)$ 的概率密度分别为 $f_1(x, y)$ 与 $f_2(x, y)$ ，令
$$
f(x, y)=a f_1(x, y)+b f_2(x, y),
$$
若 $f(x, y)$ 是某二维连续型随机变量的概率密度，则 $a, b$ 满足条件（ ）．
$\text{A.}$ $a+b=1$
$\text{B.}$ $a>0$ 且 $b>0$
$\text{C.}$ $0 \leqslant a \leqslant 1,0 \leqslant b \leqslant 1$
$\text{D.}$ $a \geqslant 0, b \geqslant 0$ 且 $a+b=1$
设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且均服从标准正态分布 $N(0,1)$ ，则 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $P\{X+Y \geqslant 1\}=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $P\{X-Y \geqslant 1\}=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $P\{\max \{X, Y\} \geqslant 0\}=\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $P\{\min \{X, Y\} \geqslant 0\}=\frac{1}{4}$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，且 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则 $Z=\max \{X, Y\}$ 的分布函数为 （ ）．
$\text{A.}$ $F^2(z)$
$\text{B.}$ $F(x) F(y)$
$\text{C.}$ $1-[1-F(z)]^2$
$\text{D.}$ $[1-F(x)][1-F(y)]$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如果二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数为
$$
F(x, y)= \begin{cases}1-e^{-\lambda_1 x}-e^{-\lambda_2 y}+e^{-\lambda_1 x-\lambda_2 y-\lambda_2 \max (x, y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_{12}>0$ ，则 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布函数分别为
设随机变量 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 相互独立且同分布，$P\left\{X_i=0\right\}=0.6, P\left\{X_i=1\right\}=0.4, i=1,2,3,4$ ，
则行列式 $X=\left|\begin{array}{ll}X_1 & X_2 \\ X_3 & X_4\end{array}\right|$ 的概率分布为 $\qquad$ ．
袋中有编号为 $1,1,2,3$ 的四个球，现从中无放回地取两次，每次任取一个，设 $X_1, X_2$ 分别为第一次，第二次取到的球的号码，求：
（1）$\left(X_1, X_2\right)$ 的分布律，并判断 $X_1$ 与 $X_2$ 的独立性；
（2）在 $X_2=2$ 的条件下，$X_1$ 的条件分布；
（3）随机变量 $Y=X_1 X_2$ 的分布．
已知随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度
$$
f(x, y)= \begin{cases}A e^{-y}, & 0 < x < y, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
求常数 $A$ ，并计算概率 $P\{X+Y \geqslant 1\}, P\left\{\frac{X}{Y} \leqslant \frac{1}{2}\right\}$ ．
已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，$P\{Y=-1\}=\frac{1}{4}, P\{Y=1\}=\frac{3}{4}$ ，求概率 $P\{X-Y \leqslant 1\}, P\{X Y \leqslant 2\}$ ．
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}$ ．在给定 $X=i$ 的条件下，随机变量 $Y$ 服从均匀分布 $U(0, i)(i=1,2)$ ．求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 和概率密度 $f_Y(y)$ ．
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
将两封信投人 3 个信箱，设 $X_1, X_2$ 分别表示第一个和第二个信箱投进的信的数量，求：
（1）$\left(X_1, X_2\right)$ 的分布律，边缘分布；
（2）在条件 $X_2=1$ 下，$X_1$ 的条件分布．
已知二维随机变量 $(X, Y)$ 在 $G$ 上服从均匀分布，$G$ 由直线 $x-y=0, x+y=2$ 与 $y=0$围成，求：
（1）边缘概率密度 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ ；
（2）条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ．
已知随机变量 $X$ 在区间 $[0,1]$ 上服从均匀分布，在 $X=x(0 < x < 1)$ 的条件下，随机变量 $Y$ 在区间 $[0, x]$ 上服从均匀分布，求：
（1）$(X, Y)$ 的概率密度；
（2）$Y$ 的概率密度；
（3）概率 $P\{X+Y>1\}$ ．
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\frac{1}{2} e^{-|x|}, x \in(-\infty,+\infty)
$$
证明：$X$ 与 $|X|$ 不独立．
将两封信投人 3 个信箱，设 $X_1, X_2$ 分别表示第一个和第二个信箱投进的信的数量，求随机变量 $Y_1=X_1+X_2$ 和 $Y_2=X_1-X_2$ 的分布．