单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^2$ ，从总体 $X$ 中抽取容量为 $n$ 的简单随机样本，其样本均值，样本方差分别为 $\bar{X}, S^2$ ．记 $S_k^2=\frac{n}{k} \bar{X}^2+\frac{1}{k} S^2(k=1,2,3,4)$ ，则（ ）．
$\text{A.}$ $E\left(S_1^2\right)=\sigma^2$
$\text{B.}$ $E\left(S_2^2\right)=\sigma^2$
$\text{C.}$ $E\left(S_3^2\right)=\sigma^2$
$\text{D.}$ $E\left(S_4^2\right)=\sigma^2$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{15}$ 是来自正态总体 $N(0,9)$ 的简单随机样本，则统计量
$$
Y=\frac{1}{2} \frac{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_{10}^2}{X_{11}^2+X_{12}^2+\cdots+X_{15}^2}
$$
服从（ ）。
$\text{A.}$ $t(10)$
$\text{B.}$ $t(15)$
$\text{C.}$ $F(10,5)$
$\text{D.}$ $F(5,10)$
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)\left(\sigma^2\right.$ 已知），则在给定样本容量 $n$ 及置信度 $1-\alpha$ 的情况下，未知参数 $\mu$ 的置信区间长度随着样本均值 $\bar{X}$ 的增加而（ ）。
$\text{A.}$ 增加
$\text{B.}$ 减少
$\text{C.}$ 不变
$\text{D.}$ 不能确定增或减
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu$ 已知，$\sigma^2$ 未知．$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本，则下列样本函数中不是统计量的是（）。
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
$\text{B.}$ $\max _{1 \leq i \leqslant n}\left\{X_i\right\}$
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
设总体 $X$ 与 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right), \bar{X}, \bar{Y}$ 是分别来自总体 $X, Y$ ，容量都为 $n$的样本的样本均值，则当 $n$ 固定时，概率 $P\{|\bar{X}-\bar{Y}|>\sigma\}$ 的值随 $\sigma$ 的增大而（）．
$\text{A.}$ 单调增大
$\text{B.}$ 单调减小
$\text{C.}$ 保持不变
$\text{D.}$ 增减不定
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>2)$ 为独立同分布的随机变量，且均服从正态分布 $N(0,1)$ ，记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, Y_i=X_i-\bar{X}, i=1,2, \cdots, n$ ．则 $Y_i$ 的方差 $D Y_i=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设某种产品的使用寿命 $T$ 的分布函数 $F(t)$ 满足方程 $F^{\prime}(t)+\frac{2 t}{\theta^2}[F(t)-1]=0, t \geqslant 0$ ， $F(0)=0$ ，其中 $\theta$ 为大于 1 的参数，且产品性能 $Q(\theta)=\frac{\theta^2}{2} \ln \theta-\frac{3}{4} \theta^2+\theta$ ．
（1）求概率 $P\{T>t\}$ 与 $P\{T>s+t \mid T>s\}$ ，其中 $s>0, t>0$ ；
（2）任取 $n$ 个这种产品做寿命试验，测得它们的寿命分别为 $t_1, t_2, \cdots, t_n$ ，求 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat{\theta}$ ；
（3）求产品性能 $Q$ 的最大似然估计值 $\hat{Q}$ ．
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{1}{1-\theta}, & \theta \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta$ 为未知参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本．
（1）求 $\theta$ 的矩估计量；
（2）求 $\theta$ 的最大似然估计量．