解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设有双叶双曲面 $S: x^2+y^2-z^2=-2$ ，记以 $M_0(1,1,-1)$ 为顶点且与 $S$ 的上半叶 $S^{+}=\{(x, y, z) \in S \mid z \geq \sqrt{2}\}$ 相切的所有切线构成的锥面为 $\Sigma$ 。
（1）求锥面 $\Sigma$ 的方程；
（2）求 $S^{+} \cap \Sigma$ 所在平面 $\pi$ 的方程．
设 $\varphi(t)=\int_0^{+\infty} \frac{\ln \left(1+t x^2\right)}{x\left(1+x^2\right)} d x, t \geq 0$ ，求 $\varphi(1), \varphi(2)$
设 $A=\left[a_{i j}\right]_{3 \times 3}$ 为实数域 $R$ 上的 3 阶不可逆方阵．若 $A$ 的伴随矩阵 $A^*=\left[a_{i j}^2\right]_{3 \times 3}$ ，求 $A$ ．
已知实数域 $R$ 上的一元多项式集合 $R [x]$ 在多项式加法和数乘下构成 $R$ 上的一个线性空间．设 $f_i(x) \in R [x]$ 且次数为 $n_i, 1 \leq i \leq 2024$ ，规定零多项式的次数为 $-\infty$ ，已知 $\sum_{i=1}^{2024} n_i < 2047276$ ，证明：$f_1(x), f_2(x), \cdots, f_{2024}(x)$为空间 $R [x]$ 中线性相关的向量组．
讨论级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+(-1)^{[\sqrt{n}]}}, \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^{[\sqrt{n}]}}$ 的收敛性，其中 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分。
（1）设 $f_1(t)=\frac{t+3}{2}, f_2(t)=\frac{t+6}{3},\left\{n_k\right\}$ 为取值于 $\{1,2\}$ 的整数列．令 $F_1(t)=f_{n_1}(t), F_{k+1}(t)=F_k\left[f_{n_{k+1}}(t)\right](k \geq 1)$ ．证明：对任何 $x \in R$ ，极限 $\lim _{k \rightarrow+\infty} F_k(x)$ 存在且与 $x$ 无关．
（2）若题（1）中的 $f_1, f_2$ 改为 $f_1(t)=t-\arctan t, f_2(t)=2 \arctan t-t$ ，结论如何？