解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
判别正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \frac{1}{n}-\ln \sin \frac{1}{n}\right)$ 的敛散性．
判别正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!\cdot \arctan \left[2+(-1)^n\right]}{n^n}$ 的敛散性．
判别正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\arctan \frac{1}{n}\right)^\alpha \frac{1}{\ln \left(1+n+n^2\right)}(\alpha>0)$ 的敛散性．
判别正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\cos \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n^2}$ 的敛散性．
根据 $p$ 的取值讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left[1+\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}\right]$ 的敛散性，若非正项级数，需讨论绝对收敛性和条件收敛性．
根据 $\alpha$ 的取值讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt[n]{\alpha}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)(\alpha>0)$ 的敛散性，若非正项级数，需讨论绝对收敛性和条件收敛性．
求函数 $f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 在 $x=0$ 处的幂级数展开式，并求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+1}$ 的和．
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3 n-1}$ 的和．
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的函数，在 $[0, \pi]$ 上 $f(x)=x(\pi-x)$ ．
（1）证明：$\forall x \in R, f(x)=\frac{8}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (2 n-1) x}{(2 n-1)^3}$ ；
（2）求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^6}$ ．
设 $m, n$ 为常数，若反常积分收敛， $\int_0^{+\infty} \frac{x^n\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)}{(1+x)^m} \mathrm{~d} x$ 收敛，求 $m, n$ 的取值范围．
判断广义积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x \cdot \ln x}{x^2} \mathrm{~d} x$ 的敛散性．
设 $f(t)=\left(\int_0^t \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x\right)^2, g(t)=\int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-t^2\left(1+x^2\right)}}{1+x^2} \mathrm{~d} x$ ，证明：$f(t)+g(t)=\frac{\pi}{4}$ ，并由此计算 $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ ．