单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 可导，$f(0)=2$ ，且 $f^{\prime}(x) < 2 f(x)$ ，则下列结论正确的是（）．
$\text{A.}$ $f(-1)>2$
$\text{B.}$ $f(-1) < \frac{2}{ e ^2}$
$\text{C.}$ $f(1)>2 e ^2$
$\text{D.}$ $f(1) < 2 e ^2$
反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^2} d x$
$\text{A.}$ 收敛且等于 0
$\text{B.}$ 收敛且等于 1
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 不能确定敛散性.
设数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导，则（ ）．
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在
设有方程 $x f^{\prime \prime}(x)+3 x\left[f^{\prime}(x)\right]^2=1- e ^{-x}, f^{\prime}\left(x_0\right)=0\left(x_0 \neq 0\right)$ ，则
$\text{A.}$ $f\left(x_0\right)$ 为 $f(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f\left(x_0\right)$ 为 $f(x)$ 的极小值
$\text{C.}$ $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 为 $f(x)$ 的图形的拐点
$\text{D.}$ $f\left(x_0\right)$ 不是极值，$\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 也不是拐点
(2) $\int_{-1}^0 d x \int_{-x}^{\sqrt{2-x^2}} f(x, y) d y+\int_0^1 d x \int_x^{\sqrt{2-x^2}} f(x, y) d y=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_{-y}^y f(x, y) d x+\int_1^2 d y \int_{-\sqrt{2-y^2}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d y \int_{-y}^y f(x, y) d x+\int_1^{\sqrt{2}} d y \int_{-\sqrt{2-y^2}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^2 f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r$
$\text{D.}$ $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\sqrt{2}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) d r$
一物体按规律 $s=t^2$ 做直线运动, 介质的阻力 $F$ 与速度 $v$ 的平方成正比 $\left(F=k v^2, k\right.$ 是比例常数), 则物体从 $s=0$ 移到 $s=a$ 克服介质阻力所作的功为 ( ).
$\text{A.}$ $\int_0^{\sqrt{a}} 8 k t^3 d t$
$\text{B.}$ $\int_0^a 8 k t^3 d t$
$\text{C.}$ $\int_0^{\sqrt{a}} k v^2 d t$
$\text{D.}$ $\int_0^a k v^2 d t$
如果 $\sin x+x \cos x$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int f^{\prime}(x) d x=$ ．
$\text{A.}$ $-x \sin x+2 \cos x+C$
$\text{B.}$ $\sin x-x \cos x+C$
$\text{C.}$ $\sin x+x \cos x+C$
$\text{D.}$ $-\sin x-x \cos x+C$
把 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小量 $\alpha=\int_0^x \cos t^2 d t, \beta=\int_0^{x^2} \tan \sqrt{t} d t, $ $ \gamma=\int_0^{\sqrt{x}} \sin t^3 d t$
排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$.
$\text{B.}$ $\alpha, \gamma, \beta$.
$\text{C.}$ $\beta, \alpha, \gamma$.
$\text{D.}$ $\beta, \gamma, \alpha$.
设三阶矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right)$ ，且 $r A ^*=1$ ，则必有
$\text{A.}$ $a=b$ 或 $a+2 b=0$
$\text{B.}$ $a=b$ 或 $a+2 b \neq 0$
$\text{C.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b=0$
$\text{D.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均是 $n$ 阶可逆矩阵，且 $\boldsymbol{A}^{-1} \sim \boldsymbol{B}^{-1}$ ，则下列结果
（1） $\boldsymbol{A B} \sim \boldsymbol{B A}$
（2） $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$
（3）$A^{2022} \sim B^{2022}$
（4） $\boldsymbol{A}^* \sim \boldsymbol{B}^*$
正确的个数为
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=x+x^2 \sin \frac{1}{x^2+1}$ 的渐近线为
$\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{n \sqrt{n+\frac{1}{k}}}=$
设 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
设三阶常系数齐次线性微分方程有一个特解为 $y= e ^x(1+\cos x)$, 则该方程的表达式为
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{3 \sin ^2 x+\cos ^2 x}=$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵且 $r(\boldsymbol{A})=1, \lambda=1$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，其对应的特征向量是 $\alpha_1=(1,-2,1)^{\mathrm{T}}$ ，则方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系为 $\qquad$ ．
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
讨论函数 $f(x)=\frac{x \arctan \frac{1}{x-1}}{\sin \frac{\pi}{2} x}$ 的连续性，并指出间断点的类型
设 $D=\{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 4\}$, 求函数 $f(x, y)=\left(x^2+y^2\right) e ^{-x-y}$ 在区域 $D$ 上的最大值与最小值.
在除原点之外的上半空间 $z \geqslant 0$ 上, 函数 $u(x, y, z)$ 有二阶连续偏导数, 满足
$$
u_x^{\prime}=2 x+y+z+x f(r), u_y^{\prime}=x+y f(r), u_z^{\prime}=x+z+z f(r),
$$
其中 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, u_{x x}^{\prime \prime}+u_{y y}^{\prime \prime}+u_{z z}^{\prime \prime}=0, f(1)=1$.
(1) 求 $f(r)$ 的表达式;
(2) 求 $f(r)$ 在约束条件 $x^2+\frac{y^2}{2}-z^2=1$ 下的最大值与最小值.
设 $D_n$ 是 $f(x)=\arcsin (\sin x) \cdot e ^{-x}(0 \leqslant x \leqslant n \pi)$ 与 $x$ 轴所围成的图形，
（I）求 $D_n$ 的面积 $S_n$ ，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n$ ；
（ II ）设 $D_n$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得的旋转体体积为 $V_n$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} V_n$ 存在．
设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，请证明以下结论：
（1）当 $f\left(x_0\right)>0$ 时，$y=|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}=f^{\prime}\left(x_0\right)$ ．
（2）当 $f\left(x_0\right) < 0$ 时，$y=|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}=-f^{\prime}\left(x_0\right)$ ．
（3）当 $f\left(x_0\right)=0$ 时，但 $f^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0$ 时，$y=|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处不可导．
（4）当 $f\left(x_0\right)=0$ 时，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 时，$y=|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}=0$ ．
设 $A$ 为 3 阶实对称阵, $\xi _1=(a,-2,1)^{ T }$ 是 $A x = 0$ 的解, $\xi _2=(a, a,-3)^{ T }$是 $( A - E ) x = 0$ 的解, 且 $B =\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 是正定矩阵.
(I) 求参数 $a$;
(II) 求正交变换 $x = P y$, 将二次型 $f= x ^{ T } B x$ 化为标准形;
（III）当 $x ^{ T } x =2$ 时, 求 $f= x ^{ T } B x$ 的最大值.