【34016】 【 微分方程的基本概念】 解答题 已知 $y=\frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y^{\prime}=\frac{y}{x}+\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的解，试求 $\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的表达式．

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【34015】 【 2025年吉林省长春市中考数学试卷】 解答题 在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y=x^2+b x$ 经过点 $(3,3)$ ，点 $A 、 B$ 是该抛物线上的两点，横坐标分别为 $m, m+1$ ，已知点 $M(1,1)$ ，作点 $A$ 关于点 $M$ 的对称点 $C$ ，作点 $B$ 关于点 $M$的对称点 $D$ ，构造四边形 $A B C D$ ． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当 $A, B$ 两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点 $C$ 的坐标； （3）设抛物线在 $A 、 B$ 两点之间的部分（含 $A 、 B$ 两点）为图象 $G$ ，当 $0<m<1$ 时，若图象 $G$ 的最高点与最低点的纵坐标之差为 $\frac{1}{2}$ ，求 $m$ 的值； （4）连结 $O A 、 O B$ ，当 $\angle A O B=\angle O A D+\angle O B C$ 时，直接写出 $m$ 的取值范围．（这里 $\angle A O B 、 \angle O A D 、 \angle O B C$ 均是大于 $0^{\circ}$ 且小于 $180^{\circ}$ 的角） [img=/uploads/2025-11/56faf4.jpg][/img]

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【34014】 【 2025年吉林省长春市中考数学试卷】 解答题 如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle C=90^{\circ}, A C=B C=4$ ，点 $D$ 为边 $A C$ 的中点，点 $E$ 为边 $A B$ 上一动点，连结 $D E$ ，将线段 $D E$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $45^{\circ}$ 得到线段 $E F$ ． （1）线段 $A B$ 的长为 $\_\_\_\_$ ； （2）当 $E F \| A C$ 时，求 $A E$ 的长； （3）当点 $F$ 在边 $B C$ 上时，求证：$\triangle A D E \cong \triangle B E F$ ； （4）当点 $E$ 到 $B C$ 的距离是点 $F$ 到 $B C$ 距离的 2 倍时，直接写出 $A E$ 的长． [img=/uploads/2025-11/99adf6.jpg][/img]

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【34013】 【 2025年吉林省长春市中考数学试卷】 解答题 数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段 $A B$ 的覆盖圆有无数个，其中，以 $A B$ 为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段 $A B$ 的最小覆盖圆一定经过点 $A$ 、点 $B$ 。如图（1），以 $A B$ 为直径作 $\odot O$ ，再过 $A$ 、 $B$ 两点作 $\odot O^{\prime}$（ $O^{\prime}$ 与 $O$ 不重合），连结 $O^{\prime} A, O^{\prime} B$ 。 在 $\triangle O^{\prime} A B$ 中，有 $O^{\prime} A+O^{\prime} B>A B(\mathbf{\Delta})$ ． $$ \because O^{\prime} A=O^{\prime} B, $$ $\therefore 2 O^{\prime} A>A B$ ，即 $\odot O^{\prime}$ 的直径大于 $\odot O$ 的直径． $\therefore \odot O$ 是线段 $A B$ 的最小覆盖圆． ＂ $\mathbf{\Delta}$＂处应填写的推理依据为 $\_\_\_\_$ ． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆． 如图（2），在Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ} . \odot O$ 是以 $A B$ 为直径的圆． 请你判断点 $C$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由． 又由【探究一】可知，$\odot O$ 是Rt $\triangle A B C$ 最长边 $A B$ 的最小覆盖圆，所以，$\odot O$ 是Rt $\triangle A B C$ 的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图（3），在矩形 $A B C D$ 中，$A B=1 \mathrm{~cm}, B C=2 \mathrm{~cm}$ ． （1）用圆规和无刻度的直尺在图（3）中作矩形 $A B C D$ 的最小覆盖圆； （不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） （2）该矩形 $A B C D$ 的最小覆盖圆的直径为 $\_\_\_\_$ cm； （3）若用两个等圆完全覆盖矩形 $A B C D$ ，则这样的两个等圆的最小直径为 $\_\_\_\_$ cm ． [img=/uploads/2025-11/6317d1.jpg][/img]

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【34012】 【 2025年吉林省长春市中考数学试卷】 解答题 随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和乙机器人一起继续工作。甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（ 件）与乙机器人工作时间 $x$（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲机器人停工保养的时间为 $\_\_\_\_$分钟，$m=$ $\_\_\_\_$ ； （2）求 $A B$ 所在直线对应的函数表达式； （3）若该快递公司当天分拣快递的总数量为 5450 件，则乙机器人工作时间为 $\_\_\_\_$分钟． [img=/uploads/2025-11/90c053.jpg][/img]

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【34011】 【 2025年吉林省长春市中考数学试卷】 解答题 某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系。 小组成员在本校九年级男生中随机抽取 20 名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： $a .20$ 名男生的臂展与身高数据如表： [img=/uploads/2025-11/979353.jpg,WIDTH=500PX][/img] 6 $b .20$ 名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如表： [img=/uploads/2025-11/d54289.jpg][/img] c． 20 名男生臂展的频数分布直方图如图 ① ：（将臂展数据分成 5 组： $160 \leq a<165,165 \leq a<170,170 \leq a<175,175 \leq a<180$ ， $180 \leq a \leq 185$ ） [img=/uploads/2025-11/10896b.jpg][/img] $d .20$ 名男生臂展与身高的散点图如图 ② ，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内。他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展 $y(\mathrm{~cm})$ 与身高 $x(\mathrm{~cm})$ 之间关联关系的直线 $l$ ． 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中 $m 、 n$ 的值：$m=$ $\_\_\_\_$ ，$n=$ $\_\_\_\_$ ； （2）该校九年级有男生 240 人，估计其中臂展大于或等于 $170 c m$ 的男生人数； （3）图（2）中直线 $l$ 近似的函数关系式为 $y=1.2 x-40$ ，根据直线 $l$ 反映的趋势，估计身高为 185 cm 男生的臂展长度．

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【34010】 【 2025年吉林省长春市中考数学试卷】 解答题 图 ① 、图 ② 、图均是 $4 \times 3$ 的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作 $\triangle A B C$ ，使 $\triangle A B C$ 的顶点均在格点上． （1）在图 ① 中，$\triangle A B C$ 是面积最大的等腰三角形； （2）在图 ② 中，$\triangle A B C$ 是面积最大的直角三角形； （3）在图 ③ 中，$\triangle A B C$ 是面积最大的等腰直角三角形． [img=/uploads/2025-11/0143d9.jpg][/img]

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【34009】 【 2025年吉林省长春市中考数学试卷】 解答题 小吉和小林从同一地点出发跑 800 米，小吉的平均速度是小林的 1.25 倍，结果小吉比小林少用 40 秒到达终点．求小林跑步的平均速度．

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【34008】 【 2025年吉林省长春市中考数学试卷】 解答题 如图，$\square A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O, A B=5, O A=4, O B=3$ ．求证：$\square A B C D$ 是菱形。 [img=/uploads/2025-11/f26e4f.jpg][/img]

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【34007】 【 2025年吉林省长春市中考数学试卷】 解答题 长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名。甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从 $A 、 B 、 C$ 三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． [img=/uploads/2025-11/98fa6f.jpg][/img]

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