【33986】 【 欧几里得2026年全国硕士研究生招生考试数学一模拟卷(数一第二套)】 解答题 设二次型 $$ \begin{gathered} f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+3 x_3^2-2 x_1 x_2+4 x_2 x_3-2 x_1 x_3, \\ g\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+3 x_2^2+2 x_3^2-2 x_1 x_2+4 x_2 x_3 . \end{gathered} $$ （1）求可逆线性变换 $x=P_1 y$ 将 $f$ 化为规范形； （2）求可逆线性变换 $x=P_2 y$ 将 $f$ 化为规范形的同时将 $g$ 化为标准形； （3）求 $\max _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{f(x)}$ ，其中 $x=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}$ ．

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【33985】 【 欧几里得2026年全国硕士研究生招生考试数学一模拟卷(数一第二套)】 解答题 设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上二阶可导，且 $f(0)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[f(x)+x f^{\prime}(x)\right]=1$ ．证明： （1）存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使得 $f(\xi)-f^{\prime}(\xi)=0$ ； （2）存在 $\eta \in(0,+\infty)$ ，使得 $f(\eta)-2 f^{\prime}(\eta)+f^{\prime \prime}(\eta)=0$ ．

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【33984】 【 欧几里得2026年全国硕士研究生招生考试数学一模拟卷(数一第二套)】 解答题 计算曲线积分 $I=\int_l 5^2 \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y+y^2 \mathrm{~d} z$ ．其中曲线 $L$ 为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=1 \\ x+y+z=1\end{array}\right.$ 自点 $A(1,0,0)$至点 $B(0.0 .1)$ 的长弧段．

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【33983】 【 欧几里得2026年全国硕士研究生招生考试数学一模拟卷(数一第二套)】 解答题 设定义在右半平面 $(x>0)$ 的正值函数 $z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，并且满足 $$ z \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}, z(x, 0)=x \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, z(1, y)=\mathrm{e}^{-\frac{1+y^2}{2}} . $$ （1）求 $z(x, y)$ 的表达式； （2）求 $z(x, y)$ 的极值．

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【33982】 【 欧几里得2026年全国硕士研究生招生考试数学一模拟卷(数一第二套)】 解答题 设函数 $y(x)(x \geqslant 0)$ 二阶可导．且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$ ，其反函数为 $z(x)$ ．过曲线 $y= y(x)$ 上任意一点 $Q(x, y(x))$ 作该曲线的法线及 $x$ 轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_1$ 。区间 $[1, y(x)]$ 上以 $y=z(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_2$ ．若 $S_1=y^2(x)\left(S_2+1\right)$ 恒成立，求曲线 $y=y(x)$ 的方程．

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【33981】 【 欧几里得2026年全国硕士研究生招生考试数学一模拟卷(数一第二套)】 填空题 假设 $-0.25,-1.00,1.50,3.75$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本值，已知 $Y=1-2 X$ 服从正态分布 $N(\mu, 1)$ ，则 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 的置信度为 0.95 的置信区间是 $\_\_\_\_$。 （注：$\Phi(1.96)=0.975, \Phi(1.645)=0.95$ ．）

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【33980】 【 欧几里得2026年全国硕士研究生招生考试数学一模拟卷(数一第二套)】 填空题 已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ a \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ a\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_4=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$ ，若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关，而 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关，则 $a=$

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【33979】 【 欧几里得2026年全国硕士研究生招生考试数学一模拟卷(数一第二套)】 填空题 设 $F(x, y, z)=\left(y z^2-\cos z\right) i+2 x z^2 j+(2 x y z+x \sin z) k$ ，则 $\operatorname{rot} F(1,4,9)=$

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【33978】 【 欧几里得2026年全国硕士研究生招生考试数学一模拟卷(数一第二套)】 填空题 $f(x)=\frac{\ln (1+x)}{1+x^{2026}}$ ，则 $f^{(2026)}(0)=$

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【33977】 【 欧几里得2026年全国硕士研究生招生考试数学一模拟卷(数一第二套)】 填空题 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\mathrm{e}^{x^2}-1\right)\left(\mathrm{e}^{-x^2}-1\right)}{\sqrt{1-x^2}-\cos x}=$

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