单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
已知向量 $\alpha_1=(1,0,1)^T, \alpha_2=(1,2,1)^T, \alpha_3=(3,1,2)^T$, 记 $\beta_1=\alpha_1, \beta_2=\alpha_2-k \beta_1$, $\beta_3=\alpha_3-l_1 \beta_1-l_2 \beta_2$, 若 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 两两正交, 则 $l_1, l_2$ 依次为 ( ).
$\text{A.}$ $\frac{5}{2}, \frac{1}{2}$;
$\text{B.}$ $-\frac{5}{2}, \frac{1}{2}$;
$\text{C.}$ $\frac{5}{2},-\frac{1}{2}$;
$\text{D.}$ $-\frac{5}{2},-\frac{1}{2}$.
下述四个条件中, 3 阶方阵 $A$ 对角化的一个充分不必要的条件是 ( ).
$\text{A.}$ $A$ 有 3 个两两线性无关的特征向量;
$\text{B.}$ $A$ 有 3 个线性无关的特征向量;
$\text{C.}$ $A$ 有 3 个互不相等的特征值;
$\text{D.}$ $A$ 属于不同特征值的特征向量正交.
已知向量 $\alpha_1=(\lambda, 1,1)^T, \alpha_2=(1, \lambda, 1)^T, \alpha_3=(1,1, \lambda)^T, \alpha_4=\left(1, \lambda, \lambda^2\right)^T$, 若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是（ ）。
$\text{A.}$ $\{0,1\}$;
$\text{B.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R , \lambda \neq-1, \lambda \neq-2\}$;
$\text{C.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R , \lambda \neq-2\}$;
$\text{D.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R , \lambda \neq-1\}$.
设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 为 4 阶正交矩阵。若矩阵 $B=\left(\begin{array}{l}\alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \alpha_3^T\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), k$ 表示任意常数, 则线性方程组 $B x=\beta$ 的通解 $x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4+k \alpha_1$;
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_3+\alpha_4+k \alpha_2$;
$\text{C.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_4+k \alpha_3$;
$\text{D.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+k \alpha_4$ 。
设方阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 1 & k & 0 \\ 0 & 0 & k^2\end{array}\right)$ 是正定矩阵, 则必有 ( )。
$\text{A.}$ $k>0$;
$\text{B.}$ $k>1$;
$\text{C.}$ $k>2$;
$\text{D.}$ $k>-1$ 。
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A=\left(\begin{array}{lll}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)$, 则当 $k \geq 2$ 时, $A^k=$
设 $A =\left( a _{i j}\right)$ 为 3 阶矩阵, $A _{i j}$ 为元素 $a _{i j}$ 的代数余子式, 若 $A$ 的每行元素之和均为 2 , 且 $| A |= 3$, 则 $A_{11}+A_{21}+A_{31}=$
已知矩阵 $A$ 和 $E-A$ 可逆, 其中 $E$ 为单位矩阵。若矩阵 $B$ 满足 $\left(E-(E-A)^{-1}\right) B=A$, 则 $B-A=$
已知 4 元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 3 , 又 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是它的 3 个解向量, 其中 $\alpha_1+\alpha_2=(1,1,0,2)^T, \quad \alpha_2+\alpha_3=(1,0,1,3)^T$, 则该非齐次线性方程组的通解为
已知实二次型 $f\left(x_1 x_2, x_3\right)=x_1^2+4 x_2^2+2 x_3^2+2 a x_1 x_2+2 x_2 x_3$ 正定, 则常数 $a$ 的取值范围为
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A^{-1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right)$, 求 $\left(A^*\right)^{-1}$.
计算行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}1+a_1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1+a_2 & \cdots & 1 \\ \cdots & \cdots & \ddots & \cdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1+a_n\end{array}\right|$, 其中 $a_1 a_2 \cdots a_n \neq 0$.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$, 已知线性方程组 $A x=b$ 存在 2 个不同的解,
(1) 求 $\lambda, a$;
(2) 求方程组 $A x=b$ 的通解.
设 $A$ 为三阶实对称矩阵，且满足 $A^2+A-2 E=0$ 已知向量
$$
\alpha_1=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \quad \alpha_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
$$
是 $A$ 对应特征值 $\lambda=1$ 的特征向量, 求 $A^n$, 其中 $n$ 为自然数。
设有向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}7 \\ 0 \\ 14 \\ 3\end{array}\right), \quad \alpha_3=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \quad \alpha_4=\left(\begin{array}{l}5 \\ 1 \\ 6 \\ 2\end{array}\right)$,
(1) 求该向量组的秩;
(2) 求该向量组的一个极大无关组, 并把其余向量分别用求得的极大无关组线性表出.
已知实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1 x_2+2 x_2 x_3+2 x_3 x_1$, 求正交变换 $x=Q y$,将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形, 并写出正交变换 $x=Q y$ 。
设 $A, B$ 是 $n$ 阶矩阵, $f(\lambda)=|\lambda E-B|$ 是 $B$ 的特征多项式。证明：矩阵 $f(A)$ 可逆的充分必要条件为 $B$ 的特征值都不是 $A$ 的特征值。