填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $x^2+x y+y^2=3$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率半径 $R$ 为
$\int_0^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^2\right)\left(1+x^4\right)} d x=$
$\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{n \sqrt{n+\frac{1}{k}}}=$
$\int_0^1 d y \int_y^1\left(\frac{e^{x^2}}{x}-e^{y^2}\right) d x=$
设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $f(0,0)=0, f_x^{\prime}(0,0)=1, f_y^{\prime}(0,0)$
$=2$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0}[1+f(x, 2 x)]^{\frac{1}{x}}=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$.
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $f(x-y, y-z, z-x)=0$ 确定，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，证明: $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=2 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
设函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，且
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0, f(x, x)=x, f_x^{\prime}(x, x)=x^3 .
$$
求二重积分 $I=\iint_D\left(f_{x x}^{\prime \prime}(x, x)-f_{y y}^{\prime \prime}(x, x)\right) e^{-y^2} d x d y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=0, y=1$ 以及 $y=x$ 围成的有界区域.
设 $y=f(x)$ 是
$$
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}
$$
的解，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$ ，计算 $\int_0^1 d y \int_y^1 f\left(x^2\right) d x$.
设曲线 $y=\frac{1}{1+4 \cos ^2 x}$ 与直线 $x=0, x=4 \pi$ 以及 $x$ 轴所围成区域为 $D$ ，求 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积.
设二元函数 $f(x, y)$ 与 $g(x, y)$ 满足条件: $g(0,0)=0$ ，
$$
f(x, y)=y+2 \int_0^x f(x-t, y) d t, \frac{\partial g(x, y)}{\partial x}=1, \frac{\partial g(x, y)}{\partial y}=-1
$$
(1) 求二元函数 $f(x, y)$ 与 $g(x, y)$ 的表达式.
(2) 求 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\frac{f\left(\frac{1}{n}, n\right)}{g(n, 1)}\right]^n$.
已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内四阶可导，且满足:
$$
f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=f^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0, f^{(4)}\left(\frac{1}{2}\right)>0, f(0)=f(1) < f\left(\frac{1}{2}\right) .
$$
证明:
(1) $f\left(\frac{1}{2}\right)$ 是极小值.
(2) 存在 $\xi_1, \xi_2 \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right)+f^{\prime}\left(\xi_2\right)=0$.
(3) $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $(0,1)$ 内至少有 3 个不同的零点.