在复平面内, 向量 $\overrightarrow{A B}$ 对应的复数为 $-1+3 i$, 向量 $\overrightarrow{B C}$ 对应的复数为 $-2+ i$, 则向量 $\overrightarrow{A C}$ 对应的复数为

下列四个条件中, 使 $a>b$ 成立的充要条件是

在 $\left(1-\frac{1}{2 x}\right)^8$ 的二项展开式中, 第 3 项的二项式系数是

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{2}{2-a_n}$, 且 $a_1=\frac{1}{2}$, 则 $a_{2025}=$

已知直线 $2 x+3 m y-2=0$ 与直线 $2 m x-5(m+1) y+1=0$ 互相垂直, 则 $m$ 为

已知圆锥的母线长度为 4 , 一个质点从圆锥的底面圆周上一点出发, 绕着圆锥侧面运动一周, 再回到出发点的最短距离为 $4 \sqrt{2}$, 则此圆锥的体积为

已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^2-a x+\ln x, a \in R$. 若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$, 且 $f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right) < \lambda\left(x_1+x_2\right)$ 恒成立, 则实数 $\lambda$ 的取值范围为

在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$, 若 $2 \sqrt{3} \sin A \sin B \sin C=3 \sin ^2 B+3 \sin ^2 C-\sin ^2 A$, 则 $\frac{b}{a}=$

已知向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(\lambda, 3)$, 则下列结论正确的是

已知幂函数 $f(x)=\left(8 m^2-5\right) x^{m m^2}$, 则

已知各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $S_n=2 a_n^2$, 则下列说法正确的是

已知双曲线 $E: \frac{y^2}{m}-\frac{x^2}{n}=1(m>0, n>0)$, 其渐近线方程为 $4 x \pm 5 y=0$, 则该双曲线的离心率为

已知 $a>0$, 函数 $y=\frac{x}{a}+\frac{1}{x-2}(x>2)$ 有最小值 $\frac{3}{2}$, 则 $a=$

已知甲袋中装有 3 个红球, 2 个白球,乙袋中装有 2 个红球, 4 个白球, 两个袋子均不透明, 其中的小球除颜色外完全一致. 现从两袋中各随机取出一个球, 若 2 个球同色, 则将取出的 2 个球全部放入甲袋中,若 2 个球不同色, 则将取出的 2 个球全部放入乙袋中,每次取球互不影响. 按上述方法重复操作两次后,乙袋中恰有 4 个小球的概率是

已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$, 过抛物线上点 $A(2,3)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 仅有一个交点.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 求 $k$ 的值.

如图 1 , 某市拟在长为 16 km 的道路 $O P$ 的一侧修建一条运动赛道, 赛道的前一部分为曲线段 $O S M$, 该曲线段为函数 $y=A \sin \omega x(A>0, \omega>0), x \in[0,8]$ 的图象, 且图象的最高点为 $S(6,4 \sqrt{3})$ ；赛道的后一部分为折线段 $M N P$, 为保证参赛运动员的安全, 限定 $\angle M N P=120^{\circ}$.
(1) 求 $A, \omega$ 的值和 $M, P$ 两点间的距离;
(2) 若 $N P=\frac{\sqrt{3}-1}{2} M N$, 求折线段赛道 $M N P$ 的长度.

如图 2, 在三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, 侧面 $A C C_1 A_1$ 为菱形, $\angle A_1 A C=60^{\circ}$, 底面 $A B C$ 为等边三角形, 平面 $A C C_1 A_1 \perp$ 平面 $A B C$, 点 $D, E$ 满足 $\overrightarrow{A_1 D}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A_1 B_1}, \overrightarrow{A_1 E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A_1 C_1}$, 点 $F$ 为棱 $C_1 C$ 上的动点 (含端点).
(1) 当 $F$ 与 $C$ 重合时, 证明: 平面 $D E F \perp$ 平面 $A B C$;
(2) 是否存在点 $F$, 使得直线 $A C$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ? 若存在, 求出 $\frac{C_1 F}{C_1 C}$ 的值.

函数 $f(x)=\ln (2 x+1)-4 \sin x$.
(1) 求 $f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程;
(2) 若存在 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 使得 $f(x) \geqslant a$ 成立, 求 $a$ 的取值范围.

为确保饮用水微生物安全性, 某自来水厂计划改进原有饮用水消毒方法. 据已有数据记录, 原有消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率均为 $99.2 \%$, 现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为 500 个/升.
(1) 经原有消毒方法处理后，计算一升水中大肠杆菌个数不超出 5 个的概率； (结果保留 3 位小数)
(2) 在独立重复实验中, $p$ 为事件 $A$ 在试验中出现的概率, $n$ 为试验总次数,随机变量 $X$ 为事件 $A$ 发生的次数. 若 $p$ 较小, $n$ 较大, 而 $n p$ 的大小适中, 不妨记 $\lambda=n p$, 则 $P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}=$ $C_n^k\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}, k=0,1,2, \cdots$, 经计算, 当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\lim _{n \rightarrow \infty} C_n^k\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^k}{k!} \cdot e ^{-\lambda}$. 若随机变量 $X$的概率分布密度函数为 $P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!} \cdot e ^{-\lambda}, k=0,1,2, \cdots$, 称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, 记作 $X \sim$ $P(\lambda)$. (其中, $e =2.71828 \cdots$ 为自然对数底数)
① 若经原有消毒方法处理后的一升水中含有的大肠杆菌个数 $X$ 服从泊松分布, 计算 一升水中大肠杆菌个数不超出 5 个的概率 (结果保留 3 位小数), 并证明: $E(X)=4$;
② 改进消毒方法后, 从经消毒后的水中随机抽取 50 升样本, 化验每升水中大肠杆菌的个数, 结果如下:

若每升水中含有的大肠杆菌个数 $X$ 仍服从泊松分布, 要使出现上述情况的概率最大. 则改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为多少?
参考数据：(1)指数函数的常级数展开式为 $e ^x=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}, e ^{-4} \approx 0.0183$,
(2) $992^{500}=0.018, \quad C_{500}^1 0.008 \times 0.992^{499}=0.073, \quad C_{500}^2 0.008^2 \times 0.992^{498} \approx 0.146, \quad C_{500}^3 0.008^3 \times 0.992^{497} \approx$
$0.196, C_{500}^4 0.008^4 \times 0.992^{496} \approx 0.196, C_{500}^5 0.008^5 \times 0.992^{495} \approx 0.157$.