证明题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $b>a>0$ ，函数 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上单增的连续正函数，证明：存在一个 $\xi \in(a, b)$ ，使 $a^2 f(b)+b^2 f(a)=2 \xi^2 f(\xi)$ ．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$f(x)>0$ ，证明：存在一个 $\xi \in(a, b)$ ，使
$$
\int_a^{\xi} f(x) d x=\int_{\xi}^b f(x) d x=\frac{1}{2} \int_a^b f(x) d x .
$$
设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$f(0)=0$ ，证明：存在一个 $\xi \in[0,1]$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=2 \int_0^1 f(x) d x$ ．
设 $\varphi(x)=\int_0^x \frac{\ln (1-t)}{t} d t,|x| < 1$ ，证明：$\varphi(x)+\varphi(-x)=\frac{1}{2} \varphi\left(x^2\right)$ ．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，$f_{+}^{\prime}(a) \cdot f_{-}^{\prime}(b) < 0$ ，证明：存在一个 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上 $n$ 阶可导，且有 $f(a)=f(b)=f^{\prime}(b)=\cdots=f^{(n-1)}(b)=0$ ，证明：存在一个 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f^{(n)}(\xi)=0$ 。
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$f(a) f\left(\frac{a+b}{2}\right) < 0, f(a) f(b)>0$ ，证明：存在一个 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=f(\xi)$ ．
设 $b>a>0, f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$f(a)=0$ ，在 $(a, b)$ 内 $f(x)$ 可导，证明存在一个 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f(\xi)=\frac{b-\xi}{a} \cdot f^{\prime}(\xi)$ ．
设 $f(x)$ 在［0，1］上连续，在 $(0,1)$ 内可导，$f(0)=0, \forall x \in(0,1), f(x) \neq 0$ ，证明：对一切自然数 $n$ ，存在一个 $\xi \in(0,1)$ ，使 $n \frac{f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=\frac{f^{\prime}(1-\xi)}{f(1-\xi)}$ ．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$f(a)=f(b)=1$ ，证明：$\exists \xi, \eta \in(a, b)$ ，使 $e ^{\eta-\xi}\left[f^{\prime}(\eta)+f(\eta)\right]=1$.