单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设向量组 $\alpha_1=(1,-1,1,0)^T, \alpha_2=(1,1,-1,0)^T, \alpha_3=(-1,1,1, t)^T$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3(\quad)$
$\text{A.}$ 必线性无关
$\text{B.}$ 必线性相关
$\text{C.}$ 必相互正交
$\text{D.}$ 相关与否与 $t$ 有关
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，则线性方程组 $(A B) X=0$（ ）
$\text{A.}$ 当 $m>n$ 时，仅有零解
$\text{B.}$ 当 $m>n$ 时，必有非零解
$\text{C.}$ 当 $n>m$ 时，仅有零解
$\text{D.}$ 当 $n>m$ 时，必有非零解
矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件是
$\text{A.}$ $a=0, b=2$
$\text{B.}$ $a=0, b$ 为任意常数
$\text{C.}$ $a=2, b=0$
$\text{D.}$ $a=2, b$ 为任意常数
设 $A$ 是 3 阶实对称矩阵，$E$ 是 3 阶单位矩阵，若 $A^2+A=2 E$ ，且 $|A|=4$ ，则二次型 $x^T A x$ 的规范形为（ ）
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2+y_3^2$
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$
$\text{C.}$ $y_1^2-y_2^2-y_3^2$
$\text{D.}$ $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
行列式 $I=\left|\begin{array}{cccc}
a^2 & (a+1)^2 & (a+2)^2 & (a+3)^2 \\
b^2 & (b+1)^2 & (b+2)^2 & (b+3)^2 \\
c^2 & (c+1)^2 & (c+2)^2 & (c+3)^2 \\
d^2 & (d+1)^2 & (d+2)^2 & (d+3)^2
\end{array}\right|$ =
设 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 是实正交矩阵，且 $a_{11}=1, b=(1,0,0)^T$ ，则线性方程组 $A x=b$ 的解 $x=$
设 4 阶方阵 $A$ 满足：$|A| < 0,|3 E+A|=0, A A^T=2 E$（其中 $E$ 是单位矩阵），则 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 必有一个特征值为
设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的秩 $R(A)=2$ ，且满足条件 $A^3+2 A^2=0$ ，则当 $k$ 的范固在 $\qquad$时， $A+k E$ 为正定矩阵．
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 5 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩 4 ，又 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 是它的 4 个解向量，其中 $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=(1,1,0,2,3), \alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=(1,0,1,3,4)$ ，求该非齐次线性方程组的通解．
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B$ 满足 $A+B=A B$ ，
（1）证明 $E-B$ 可逆（ $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵）；（2）若 $A=\left(\begin{array}{lll}3 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求 $B$ ．
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$ ，求 $A^n$ ．
设 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ ，当实数 $a$ 为何值时，方程组 $A x=\beta$ 有无穷多解，并求其通解．
已知 3 阶矩阵 $A$ 与 3 维列向量 $x$ 满足 $A^3 x=3 A x-A^2 x$ ，且向量组 $x, A x, A^2 x$ 线性无关，
（1）记 $y=A x, z=A y, P=(x, y, z)$ ，求 3 阶矩阵 $B$ ，使 $A P=P B$ ；
（2）求行列式 $|A|$ 的值
求一个正交变换化二次型 $f=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+4 x_2 x_3$ 成标准形．