一、单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
1. 如图，$E$ 为正方形 $A B C D$ 边 $A D$ 上一点，$A E=1, D E=3, P$ 为对角线 $B D$ 上一个动点，则 $P A+P E$ 的最小值为
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ $4 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{10}$
$\text{D.}$ 10
2. 如图，矩形 $A B C D$ 中，$A B=8, B C=14, M, N$ 分别是直线 $B C, A B$ 上的两个动点，$A E=2, \triangle A E M$ 沿 $E M$ 翻折形成 $\triangle F E M$ ，连接 $N F, N D$ ，则 $D N+N F$ 的最小值为
$\text{A.}$ 14
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 18
$\text{D.}$ 20
二、填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
3. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，$A B=3, A D=4, M$ 是 $A D$ 上异于 $A$ 和 $D$ 的任意一点，且 $M E \perp A C$ 于 $E, M F \perp B D$ 于 $F$ ，则 $M E+M F$ 为
4. 如图，菱形 $A B C D$ 的周长为 20 ，面积为 $24, P$ 是对角线 $B D$ 上一点，分别作 $P$ 点到直线 $A B 、 A D$ 的垂线段 $P E 、$ $P F$ ，则 $P E+P F$ 等于 $\qquad$
5. 如图，已知点 $P$ 是菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 延长线上一点，过点 $P$ 分别作 $A D, D C$ 延长线的垂线，垂足分别为点 $E, F$ ．若 $\angle A B C=120^{\circ}, A B=2$ ，则 $P E-P F$ 的值为 $\qquad$ ．
6. 如图，Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, \angle B=30^{\circ}, B C=2 \sqrt{3}$ ．点 $D$ 为边 $A B$ 上一个动点，作 $D E \perp B C 、 D F \perp A C$ ，垂足为 $E 、 F$ ，连接 $E F$ ．则 $E F$ 长度的最小值为 $\qquad$ ．
7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，$A B=1, A D=2$ ，点 $E$ 在边 $A D$ 上，点 $F$ 在边 $B C$ 上，且 $A E=C F$ ，连接 $C E, D F$ ，则 $C E+D F$ 的最小值为
8. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，$A B=12, E$ 为 $B C$ 边上一点，$C E=7 . F$ 为对角线 $B D$ 上一动点（不与点 $B 、 D$ 重合），过点 $F$ 分别作 $F M \perp B C$ 于点 $M 、 F N \perp C D$ 于点 $N$ ，连接 $E F 、 M N$ ，则 $E F+M N$ 的最小值为 $\qquad$。
9. 如图所示，在菱形 $A B C D$ 中，$A B=6, \angle B A D=120^{\circ}$ ，点 $E, F$ 分别在菱形的边 $B C, C D$ 上滑动，满足 $\angle E A F=60^{\circ}$ ，连接 $E F$ ，且 $E, F$ 不与 $B, C, D$ 重合．
（1）求证：不论 $E, F$ 在 $B C, C D$ 上如何滑动，总有 $B E=C F$ ；
（2）当点 $E, F$ 在 $B C, C D$ 上滑动时，分别探讨四边形 $A E C F$ 的面积和 $\triangle C E F$ 的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．
三、解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
10. 如图，已知四边形 $A B C D$ 为正方形，$A B=5 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为对角线 $A C$ 上一动点，连接 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E F \perp D E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，以 $D E 、 E F$ 为邻边作矩形 $D E F G$ ，连接 $C G$ ．
（1）求证：矩形 $D E F G$ 是正方形；
（2）探究：$C E+C G$ 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
11. 已知，如图，矩形 $A B C D$ 中，$A D=3, D C=4$ ，菱形 $E F G H$ 的三个顶点 $E, G, H$ 分别在矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ ， $C D, D A$ 上，$A H=1$ ，连接 $C F$ ．
（1）当点 $G$ 在边 $D C$ 上运动时；探究：点 $F$ 到边 $D C$ 的距离 $F M$ 是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）当 $D G$ 为何值时，$\triangle F C G$ 的面积最小，并求出这个最小值．
