单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设曲线 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2} < x < 2 \pi\right)$ 的拐点为（ ）。
$\text{A.}$ $(0,2)$
$\text{B.}$ $(\pi,-2)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{3 \pi}{2},-\frac{3 \pi}{2}\right)$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如图所示，则
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点．
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 3 个拐点．
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 1 个拐点．
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点．
当 $x>0$ 时，曲线 $y=x \sin \frac{1}{x}()$ ．
$\text{A.}$ 有且仅有水平渐近线
$\text{B.}$ 有且仅有垂直渐近线
$\text{C.}$ 既有水平渐近线又有垂直渐近线
$\text{D.}$ 既无水平渐近线也无垂直渐近线
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=x \ln \left(e+\frac{1}{x}\right)(x>0)$ 的斜渐近线方程为 $
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求下列极限．
（1）求 $\lim _{x \rightarrow 0+} x^x$ ；
（2）求 $\lim _{x \rightarrow 1}(2-x)^{\tan \frac{\pi x}{2}}$ ．
求下列极限：
（1） $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^n}{e^{\lambda x}}(n$ 为正整数，$\lambda>0)$ ；
（2） $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^n \ln x(n>0)$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^x-2^{\sin x}}{x^3}$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 可导，$f(0)=0, f^{\prime}(x)$ 单调递增，讨论 $\varphi(x)=\frac{f(x)}{x}$ 在 $(0, a)$ 内的单调性
当 $0 < a < b < \pi$ 时，证明 $b \sin b+2 \cos b+\pi b>a \sin a+2 \cos a+\pi a$ ．
已知 $k>0$ ，讨论方程 $\ln x=k x$ 根的个数．
求函数 $f(x)=2 x^3-3 x^2$ 在 $-1 \leq x \leq 4$ 上的最大值和最小值．
要造一圆柱形油罐，体积为 $V$ ，底半径 $r$ 和高 $h$ 等于多少时，能使表面积最小？此时底直径与高的比是多少？
描绘函数 $y=\frac{x^3}{(x-1)^2}$ 的图形．
曲线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$ 在 $x=\frac{\sqrt{2}}{4}$ 对应点处的曲率为
拋物线 $y=a x^2+b x+c$ 上哪一点处的曲率最大？
某公司总利润 L （万元）与日产量 $q$（吨）之间的函数关系式（即利润函数）为 $L(q)=2 q-0.005 q^2-150$ ．试求每天生产 150 吨， 200 吨， 350 吨时的边际利润，并说明经济含义．
设某产品的需求函数为 $Q=Q(P)$ ，收益函数为 $R=P Q$ ，其中 $P$ 为产品价格，$Q$ 为需求量（产品的产量），$Q(P)$ 为单调减函数．如果当价格为 $P_0$ ，对应产量为 $Q_0$ 时，边际收益 $\left.\frac{d R}{d Q}\right|_{Q=Q_0}=a>0$ ，收益对价格的边际效应 $\left.\frac{d R}{d P}\right|_{P=P_0}=c < 0$ ，需求对价格的弹性 $E_P=b>1$ ．求 $P_0$ 和 $Q_0$ ．
证明题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
若 $f(x)=\ln \cos x$ 是定义在区间 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{5}\right]$ 上的函数，证明存在一点 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 0,1 上可导，$f(1)=C$ ，证明：在 0,1 内存在 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$.
证明当 $x>0$ 时，$\frac{x}{1+x} < \ln (1+x) < x$ ．
$0 < a < b$ ，证明：$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $a \ln b-b \ln a=\left(a b^2-b a^2\right) \frac{1-\ln \xi}{\xi^2}$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $[a, b]$ 上可导，且 $f(a)=f(b)=1$ ，证明：$\exists \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $e^{\eta-\xi}\left[f^{\prime}(\eta)+f(\eta)\right]=1$ 成立．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(1)-f(0)]
$$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1-x-\frac{x}{2} \sin x}{\sin x-x \cos x}$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，在 $(0,1)$ 内二阶连续可导，证明：至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} f(0)+\frac{1}{2} f(1)-\frac{1}{8} f^{\prime \prime}(\xi)$
设函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内 2 阶可导，且有最大值 1 和最小值 0 ，证明：$\exists \xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)>2$ ．