单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\int_0^{\sin x} \sin t^2 \mathrm{~d} t, g(x)=x^3$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 等价无穷小；
$\text{B.}$ 同阶但非等价无穷小；
$\text{C.}$ 高阶无穷小；
$\text{D.}$ 低阶无穷小。
微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=2 x \cos 4 x$ ，用待定系数法确定的特解形式 $y^*=$ ．
$\text{A.}$ $(A x+B) \cos 4 x$ ；
$\text{B.}$ $(A x+B) \sin 4 x$ ；
$\text{C.}$ $(A x+B) \cos 4 x+(C x+D) \sin 4 x$
$\text{D.}$ $B x \cos 4 x+C x \sin 4 x$ ．
下列反常积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^p} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$
直线 $L_1: \frac{x-3}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-1}$ 与直线 $L_2:\left\{\begin{array}{l}x+2 z-4=0 \\ y+3 z-5=0\end{array}\right.$ 之间的关系是
$\text{A.}$ 平行；
$\text{B.}$ 垂直；
$\text{C.}$ 相交但不垂直；
$\text{D.}$ 异面．
设 $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\tan x} \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_2>1$;
$\text{B.}$ $1>I_1>I_2$;
$\text{C.}$ $I_2>I_1>1$;
$\text{D.}$ $1>I_2>I_1$.
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{\sin 3 x+\cos x-1}=$
已知 $\int x f(x) \mathrm{d} x=\arcsin x+C$ ，则 $\int \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x=$
曲线 $y=\ln \left(x^2+1\right)$ 在 $x>0$ 的拐点为
双纽线 $\left(x^2+y^2\right)^2=x^2-y^2$ 所围图形面积是
曲线 $x^2+x y+y^2=3$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率是
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $y=x^{\frac{1}{x}}+\int_0^1 \frac{\sqrt{x}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 的极值．
计算定积分 $\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{(x+2) \sin x}{\cos ^2 x} \mathrm{~d} x$ ．
设 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)=\frac{\cos x}{x}$ ，求 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ ．
求过点 $(-1,2,1)$ 且与两平面 $x-y+z-1=0$ 和 $2 x+y+z+1=0$ 都垂直的平面方程．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \mathrm{e}^{x^2}, & x \geq 0, \\ \sqrt{1-x^2}, & -1 \leq x < 0\end{array}\right.$ ，计算 $\int_1^3 f(x-2) \mathrm{d} x$ ．
已知 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$f(x)=\int_0^x(x-t)^2 g(t) \mathrm{d} t$ ，且 $\int_0^1 g(x) \mathrm{d} x=1$ ．求 $f^{\prime \prime}(x)$ ，并计算 $f^{\prime \prime}(1)$ ．
设曲线 $y=x^2$ 与曲线 $y=1-x^2$ 在第一象限内的交点为 $A$ ，过原点 $O$ 和点 $A$ 的直线与曲线 $y=x^2$ 围成平面图形 $D$ ．求：
（1）$D$ 的面积 $S$ ；（2）$D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积 $V$ ．
求伯努利方程 $y^{\prime}+y-x \sqrt{y}=0$ 的通解．
求二阶微分方程 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=(2 x+1) \mathrm{e}^x, \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.$ 的特解．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x) < 0$ ．
证明：对于任意正整数 $n$ ，均有 $\int_0^1 f\left(x^n\right) \mathrm{d} x \leq f\left(\frac{1}{n+1}\right)$ ．