2024年高考数学第三次模拟考试卷（全国甲卷-文科）

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2024年高考数学第三次模拟考试卷（全国甲卷-文科）

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

A = {x ∣ 0 < x < 4, x \in N}, B = {x ∣ - 3 < x \leq 2, x \in R}

, 则

A \cap B =

A.

{x ∣ 0 < x \leq 2}

B.

{x ∣ - 3 < x < 4}

C.

{1, 2}

D.

{0, 1}

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2. 设复数

z

满足

\frac{2 + i}{z} = i

, 则

| z | =

A.

B.

\sqrt{5}

C.

D.

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3. 某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况如图：

根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是

A.

该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致

B.

该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致

C.

该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差

D.

该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差

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4. 如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为

A.

B.

C.

D.

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5. 将函数

f (x) = \sin (2 x + ϕ)

的图象沿

x

轴向左平移

\frac{π}{8}

个单位后, 得到一个偶函数的图象, 则

ϕ

的一个可能取值为

A.

\frac{π}{4}

B.

\frac{3 π}{8}

C.

- \frac{π}{4}

D.

\frac{3 π}{4}

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6. 5 张卡片上分别写有

0, 1, 2, 3, 4

, 若从这 5 张卡片中随机取出 2 张, 则取出的 2 张卡片上的数字之和大于 5 的概率是

A.

\frac{1}{10}

B.

\frac{1}{5}

C.

\frac{3}{10}

D.

\frac{4}{5}

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7. 函数

f (x) = \frac{(e^{x} - 1) \sin x}{e^{x} + 1}

的部分图像大致为

A.

B.

C.

D.

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8. 已知函数

f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + a

(

a

为常数), 在区间

[- 2, 2]

上有最大值 20 , 那么此函数在区间

[- 2, 2]

上的最小值为

A.

-37

B.

-7

C.

-5

D.

-11

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9. 如图, 在三棱台

A B C - A_{1} B_{1} C_{1}

中,

A A_{1} ⊥

平面

A B C, ∠ A B C = 90^{\circ}, A A_{1} = A_{1} B_{1} = B_{1} C_{1} = 1, A B = 2

, 则

A C

与平面

B C C_{1} B_{1}

所成的角为

A.

30^{\circ}

B.

45^{\circ}

C.

60^{\circ}

D.

90^{\circ}

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10. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为

S_{1} 、 S_{2}

, 体积分别为

V_{1} 、 V_{2}

. 若它们的侧面积相等, 且

\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{9}{4}

, 则

V_{V_{2}}

的值是

A.

B.

\frac{3}{2}

C.

\frac{4}{3}

D.

\frac{5}{4}

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11. 已知椭圆

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的上顶点为

B

, 右焦点为

F

, 延长

B F

交椭圆

E

于点

C

A H = λ F C (λ > 1)

, 则椭圆

E

的离心率

e =

A.

\sqrt{\frac{λ - 1}{λ + 1}}

B.

\frac{λ - 1}{λ + 1}

C.

\sqrt{\frac{λ^{2} - 1}{λ^{2} + 1}}

D.

\frac{λ^{2} - 1}{λ^{2} + 1}

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12. 已知

a = \ln 1.1, b = \frac{1}{11}, c = \sqrt{0.1}

, 则

A.

a > b > c

B.

a > c > b

C.

c > b > a

D.

c > a > b

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 已知向量

\vec{a} = (1, 2)

, 向量

\vec{b} = (3, t)

, 若

(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}

, 则

t =

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14. 若直线

3 x - 4 y + 12 = 0

与两坐标轴交点为

A, B

, 则以线段

A B

为直径的圆的方程是

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15. 已知直线

y = \sqrt{2} x

与双曲线

x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)

无交点, 则该双曲线离心率的最大值为

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16. 在三角形

A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 若

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sqrt{3} \cos B}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2}

, 则该三角形周长的最大值为

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三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 安全正点、快捷舒适、绿色环保的高速铁路越来越受到中国人民的青睐．为了解动车的终到正点率，某调查中心分别随机调查了甲、乙两家公司生产的动车的300个车次的终到正点率，得到如下列联表：

(1)根据上表, 分别估计这两家公司生产的动车的终到正点率不低于 0.95 的概率;
(2)能否有

90 %

的把握认为甲、乙两家公司生产的动车的终到正点率是否低于 0.95 与生产动车的公司有关?
附:

K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}

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18. 已知数列

{a n}

满足

a_{n + 1} = \frac{6 a_{n} - 4}{a_{n} + 2}

, 且

a_{l} = 3 (n \in N^{*})

.
(1)证明：数列

{\frac{1}{a_{n} - 2}}

是等差数列;
(2)求数列

{a_{n}}

的通项公式.

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19. 如图, 在四棱雉

P - A B C D

中, 底面

A B C D

为直角梯形,

∠ B A D = ∠ C B A = \frac{π}{2}, P A = A D =

D P = A B = 2, B C = 1

, 平面

P A D ⊥

平面

A B C D, M

为

P D

的中点.

(1)证明:

C M ∥

平面

P A B

;
(2)求多面体

P A B C M

的体积.

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20. （1）已知函数

f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2} + 1}

, 求

f^{'} (1)

;
(2) 已知函数

g (x) = x^{3} + a x

, 若曲线

g (x)

在

x = 0

处的切线也与曲线

h (x) = - \ln x

相切, 求

a

的值.

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21. 设抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点为

F

, 过

F

的直线交

C

于

M, N

两点,

| M N |_{min} = 4

.
(1)求

C

的方程;
(2)设点

D (2 p, 0)

, 直线

M D, N D

与

C

的另一个交点分别为

A, B

, 当直线

M N, A B

的斜率存在时, 分别记为

k_{1}, k_{2}

. 则

\frac{k_{1}}{k_{2}}

是否为常数, 请说明理由.

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22. 极坐标系, 曲线

C_{2}

的极坐标方程为

ρ^{2} + 2 ρ \cos θ - 4 = 0

.
(1) 把

C_{1}

的参数方程化为极坐标方程;
(2) 求

C_{1}

与

C_{2}

交点的极坐标

(ρ \geq 0, 0 \leq θ < 2 π)

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23. 若

a, b, c \in R_{+}

, 且满足

a + b + c = 2

.
(1) 求

a b c

的最大值;
(2) 证明:

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{2}

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