单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
若反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^a(1+x)^b} \mathrm{~d} x$ 收敛，则
$\text{A.}$ $a < 1$ 且 $b>1$
$\text{B.}$ $a>1$ 且 $b>1$
$\text{C.}$ $a < 1$ 且 $a+b>1$
$\text{D.}$ $a>1$ 且 $a+b>1$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}2(x-1), x < 1, \\ \ln x, \quad x \geq 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1, \\ x(\ln x-1), x \geq 1\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1, \\ x(\ln x+1)-1, x \geq 1\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1 \\ x(\ln x+1)+1, x \geq 1\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1, \\ x(\ln x-1)+1, x \geq 1\end{array}\right.$
若 $y=\left(1+x^2\right)^2-\sqrt{1+x^2}, y=\left(1+x^2\right)^2+\sqrt{1+x^2}$是微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个解，则 $q(x)=$
$\text{A.}$ $3 x\left(1+x^2\right)$
$\text{B.}$ $-3 x\left(1+x^2\right)$
$\text{C.}$ $\frac{x}{1+x^2}$
$\text{D.}$ $-\frac{x}{1+x^2}$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \leq 0, \\ \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1} < x \leq \frac{1}{n}, n=1,2, \cdots\end{array}\right.$ 则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x t \ln (1+t \sin t) \mathrm{d} t}{1-\cos x^2}=$
向量场 $A(x, y, z)=(x+y+z) \mathbf{i}+x y \mathbf{j}+z \mathbf{k}$ 的旋度 $\operatorname{rot} A=$