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后保研概率论与统计抽样与分布试卷

数学

本试卷总分100分,考试时间90分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 20 题），每题只有一个选项正确

1. 设总体

X \sim B (m, θ), X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自该总体的简单随机样本,

\bar{X}

为样本均值, 则

E [\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}] =

A.

(m - 1) n θ (1 - θ)

B.

m (n - 1) θ (1 - θ)

C.

(m - 1) (n - 1) θ (1 - θ)

D.

m n θ (1 - θ)

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2. 设总体

X

服从参数为

λ (λ > 0)

的泊松分布,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n ⩾ 2)

为来自该总体的简单随机样本, 则对于统计量

T_{1} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}, T_{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n - 1} X_{i} + \frac{1}{n} X_{n}

, 有

A.

E (T_{1}) > E (T_{2}), D (T_{1}) > D (T_{2})

B.

E (T_{1}) > E (T_{2}), D (T_{1}) < D (T_{2})

C.

E (T_{1}) < E (T_{2}), D (T_{1}) > D (T_{2})

D.

E (T_{1}) < E (T_{2}), D (T_{1}) < D (T_{2})

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3. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本, 则数学期望

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) [\sum_{j = 1}^{n} {(n X_{j} - \sum_{k = 1}^{n} X_{k})}^{2}]}

等于

A.

n^{3} (n - 1) μ \cdot σ^{2}

B.

n (n - 1) μ \cdot σ^{2}

C.

n^{2} (n - 1) μ \cdot σ^{2}

D.

n^{3} (n - 1) μ \cdot σ

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4. 假设随机变量

X \sim N (1, 2^{2}), X_{1}, X_{2}, \dots, X_{100}

是来自总体

X

的简单随机样本,

\bar{X}

是样本均值, 已知

Y = a \bar{X} + b \sim N (0, 1)

, 则

A.

a = - 5, b = 5

B.

a = 5, b = 5

C.

a = \frac{1}{5}, b = - \frac{1}{5}

D.

a = - \frac{1}{5}, b = \frac{1}{5}

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5. 设总体

X

与

Y

都服从正态分布

N (0, σ^{2}), X_{1}, \dots, X_{n}

与

Y_{1}, \dots, Y_{n}

分别来自总体

X

与

Y

容量都为

n

的两个相互独立简单随机样本, 样本均值和方差分别为

\bar{X}

S_{X}^{2}, \bar{Y}, S_{Y}^{2}

。则

A.

\bar{X} - \bar{Y} \sim N (0, σ^{2})

B.

S_{X}^{2} + S_{Y}^{2} \sim χ^{2} (2 n - 2)

C.

\frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{S_{X}^{2} + S_{Y}^{2}}} \sim t (2 n - 2)

D.

\frac{S_{X}^{2}}{S_{Y}^{2}} \sim F (n - 1, n - 1)

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6. 设随机变量

X \sim t (n) (n > 1), Y = \frac{1}{X^{2}}

, 则

A.

Y \sim χ^{2} (n)

B.

Y \sim χ^{2} (n - 1)

C.

Y \sim F (n, 1)

D.

Y \sim F (1, n)

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7. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本,

\bar{X}

是样本均值, 记

\begin{array}{ll} S_{1}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}, & S_{2}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}, \\ S_{3}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2}, & S_{k}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2}, \end{array}

则服从自由度为

n - 1

的

t

分布的随机变量是

A.

t = \frac{\bar{X} - μ}{S_{1} / \sqrt{n - 1}}

B.

t = \frac{\bar{X} - μ}{S_{2} / \sqrt{n - 1}}

C.

t = \frac{\bar{X} - μ}{S_{3} / \sqrt{n}}

D.

t = \frac{\bar{X} - μ}{S_{4} / \sqrt{n}}

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8. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{8}

和

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{10}

分别是来自于正态总体

N (- 1, 4)

和

N (2, 5)

的样本, 且相互独立,

S_{1}^{2}, S_{2}^{2}

分别为两样本方差, 则服从

F (7, 9)

的统计量是

A.

\frac{2 S_{1}^{2}}{5 S_{2}^{2}}

B.

\frac{5 S_{1}^{2}}{4 S_{2}^{2}}

C.

\frac{4 S_{2}^{2}}{5 S_{1}^{2}}

D.

\frac{5 S_{1}^{2}}{2 S_{2}^{2}}

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9. 设

X_{1}, \dots, X_{n}

是简单随机样本, 来自总体

X \sim N (μ, σ^{2})

, 其中

μ, σ

是未知参数, 则以下是统计量的是（）。

A.

X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} - n^{2} E (\bar{X})

B.

X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} - n μ

C.

\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n \sqrt{S^{2}}}

D.

\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n σ}

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10. 设

X \sim N (0, 1), X_{1}, X_{2}, \dots, X_{7}

是来自总体

X

的样本,

\frac{c \sum_{i = 1}^{4} X_{i}}{\sqrt{X_{5}^{2} + X_{5}^{2} + X_{7}^{2}}} (c > 0)

服从

t (n)

分布,则

(c, n)

为

A.

(\sqrt{3}, 3)

B.

(\frac{\sqrt{3}}{2}, 3)

C.

(\frac{\sqrt{3}}{2}, 4)

D.

(\sqrt{3}, 2)

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11. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n ⩾ 2)

为来自总体

X \sim N (0, 1)

的简单随机样本,

\bar{X}

为样本均值,

S^{2}

为样本方差，则

A.

n \bar{X} \sim N (0, 1)

B.

n S^{2} \sim χ^{2} (n)

C.

\frac{(n - 1) \bar{X}}{S} \sim t (n - 1)

D.

\frac{(n - 1) X_{1}^{2}}{\sum_{i = 2}^{n} X_{i}^{2}} \sim F (1, n - 1)

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12. 从总体

X \sim N (μ, σ^{2})

中取样本

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n > 1)

, 均值为

\bar{X}

, 下面错误的是

A.

\frac{n \bar{X} - n μ}{σ \sqrt{n}} \sim N (0, 1)

B.

\frac{\bar{X} - μ}{σ / \sqrt{n}} \sim N (0, 1)

C.

\frac{X_{n} - μ}{σ / \sqrt{n}} \sim N (0, 1)

D.

\frac{X_{1} - μ}{σ} \sim N (0, 1)

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13. 已知总体

X

的期望

E X = 0

，方差

D X = σ^{2}

，从总体

X

中抽取容量为

n

的简单随机样本，其样本均值，样本方差分别为

\bar{X}, S^{2}

．记

S_{k}^{2} = \frac{n}{k} {\bar{X}}^{2} + \frac{1}{k} S^{2} (k = 1, 2, 3, 4)

，则（）．

A.

E (S_{1}^{2}) = σ^{2}

B.

E (S_{2}^{2}) = σ^{2}

C.

E (S_{3}^{2}) = σ^{2}

D.

E (S_{4}^{2}) = σ^{2}

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14. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{15}

是来自正态总体

N (0, 9)

的简单随机样本，则统计量

Y = \frac{1}{2} \frac{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{10}^{2}}{X_{11}^{2} + X_{12}^{2} + \dots + X_{15}^{2}}

服从（）。

A.

t (10)

B.

t (15)

C.

F (10, 5)

D.

F (5, 10)

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15. 设

X \sim N (a, 2), Y \sim N (b, 2)

且

X, Y

独立，分别在

X 、 Y

中取容量为

m

和

n

的简单随机样本，样本方差分别记为

S_{X}^{2}

和

S_{Y}^{2}

，则

T = \frac{1}{2} [(m - 1) S_{X}^{2} + (n - 1) S_{Y}^{2}]

服从（）分布。

A.

t (m + n - 2)

B.

F (m - 1, n - 1)

C.

χ^{2} (m + n - 2)

D.

t (m + n)

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16. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，

\bar{X}

是样本均值，记

\begin{array}{ll} S_{1}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}, & S_{2}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}, \\ S_{3}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2}, & S_{4}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2}, \end{array}

则服从自由度为

n - 1

的

t

分布的随机变量是（）。

A.

t = \frac{\bar{X} - μ}{\frac{\overset{―}{S_{1}}}{\sqrt{n - 1}}}

B.

t = \frac{\bar{X} - μ}{\frac{S_{2}}{\sqrt{n - 1}}}

C.

t = \frac{\bar{X} - μ}{\frac{S_{3}}{\sqrt{n}}}

D.

t = \frac{\bar{X} - μ}{\frac{S_{4}}{\sqrt{n}}}

．

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17. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，

\bar{X}

是样本均值，记

\begin{array}{ll} S_{1}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}, & S_{2}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}, \\ S_{3}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2}, & S_{4}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2}, \end{array}

则服从自由度为

n - 1

的

t

分布的随机变量是（）．

A.

t = \frac{\bar{X} - μ}{\frac{S_{1}}{\sqrt{n - 1}}}

B.

t = \frac{\bar{X} - μ}{\frac{S_{2}}{\sqrt{n - 1}}}

C.

t = \frac{\bar{X} - μ}{\frac{S_{3}}{\sqrt{n}}}

D.

t = \frac{\bar{X} - μ}{\frac{S_{4}}{\sqrt{n}}}

．

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18. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为总体

X \sim N (0, 1)

的一个样本，

\bar{X}

与

S^{2}

分别为样本均值与样本方差，则（）成立．

A.

\bar{X} \sim N (0, 1)

B.

\sqrt{n} \bar{X} \sim N (0, 1)

C.

\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} \sim χ^{2} (2 n)

D.

\bar{x} / S \sim t (n - 1)

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19. 设随机变量

X

和

Y

都服从标准正态分布，则（）

A.

X + Y

服从正态分布

B.

X^{2} + Y^{2}

服从

χ^{2}

分布

C.

X^{2}

和

Y^{2}

都服从

χ^{2}

分布

D.

X^{2} / Y^{2}

服从

F

分布

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20. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{6}

是总体

N μ, σ^{2}

的样本，

S^{2}

是样本方差，则

D S^{2} = ()

．

A.

\frac{1}{5} σ^{2}

B.

\frac{1}{5} σ^{4}

C.

\frac{2}{5} σ^{2}

D.

\frac{5}{18} σ^{4}

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