三角形三条中线的交点称为三角形的重心．在四面体 $A B C D$中，记 $\overrightarrow{e_1}:=\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{e_2}:=\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{e_3}:=\overrightarrow{A D}$ ，并设 $O_1, O_2$ 和 $O_3$ 分别为 $\triangle B C D, \triangle A C D$ 和 $\triangle A B D$ 的重心．
（1）在坐标系 $\left\{A, \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}\right\}$ 下，求 $O_1$ 点的坐标 $(x, y, z)$ ，其中

$$
\overrightarrow{A O_1}=x \overrightarrow{e_1}+y \overrightarrow{e_2}+z \overrightarrow{e_3} ;
$$

（2）证明三直线 $A O_1, B O_2$ 及 $C O_3$ 相交于一点 $P$ ；
（3）在坐标系 $\left\{A, \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}\right\}$ 下，求（2）中交点 $P$ 的坐标．

设 $N \geqslant 1, \mathcal{S}$ 是包含 $N$ 个整数的集合，满足如下的加性唯一性条件：

若 $n_k \in \mathcal{S}(1 \leqslant k \leqslant 4)$ 且 $n_1+n_2=n_3+n_4$ ，则必有 $n_1=n_3$ 或 $n_1=n_4$ ．令 $f(x):=\sum_{n \in \mathcal{S}} e^{2 \pi i n x}$ ．
（1）计算 $\int_0^1|f(x)|^2 d x, \int_0^1|f(x)|^4 d x$ ．
（2）证明： $\int_0^1|f(x)| d x \geqslant \frac{1}{2 \sqrt{N}}$ ．

设 $m, n$ 为大于 2 的整数，$a_1, \cdots, a_{m+1}$ 为任意 $m+1$ 个有理数， $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 为有理数域上 $n$ 阶方阵全体．证明：
（1） $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 中存在 $m$ 个元素 $B_1, \cdots, B_m$ 使得行列式 $\left|B_j\right|=j(j=1, \cdots, m)$ 成立．
（2） $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 中存在 $m$ 个元素 $A_1, \cdots, A_m$ 使得下列两条同时成立：
（i）$\left|A_j\right|=a_j(j=1, \cdots, m)$ ；
（ii）$\left|A_1-A_2-\cdots-A_m\right|=a_{m+1}$ ．

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其主对角线上的元素皆为 3 ，其余位置上的元素不是 2 就是 2029．证明： $\operatorname{rank} A=n$ 或 $n-1$

设 $k$ 为正整数．
（1）证明：对任何 $k \geqslant 1$ ，方程 $x^{3 k+1}+x^2-6 x+1=0$ 在 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 内有唯一根 $x_k$ ；
（2）证明：点列 $\left\{x_k\right\}$ 严格单减；
（3）求极限 $\lim _{k \rightarrow+\infty} x_k$ ．

设 $f \in C^1[0,1]$ 满足
$$
f(x) \ln ^2 x+x f^{\prime}(x) \leqslant 0, \quad \forall x \in(0,1) .
$$
证明下列结论之一成立：
（1） $\int_0^1 f(t) d t < \int_0^x f(t) d t \leqslant 0(\forall x \in(0,1))$ ；
（2）$f(x)=0(\forall x \in[0,1])$ ．