单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设有 $n$ 元非齐次方程 $A x = b$, 则 $(\quad)$.
$\text{A.}$ 若 $A x = 0$ 只有零解,则 $A x = b$ 有惟一解
$\text{B.}$ $A x = b$ 有惟一解的充要条件是 $R( A )=n$
$\text{C.}$ $A x = b$ 有两个不同的解, 则 $A x = 0$ 有无限多解
$\text{D.}$ $A x = b$ 有两个不同的解，则 $A x = 0$ 的基础解系中含有两个以上向量
设 3 阶矩阵 $Q =\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right|, P$ 为 3 阶非零矩阵, 且 $P Q = O$, 则 $(\quad)$.
$\text{A.}$ $t=6$ 时, $R( P )=1$
$\text{B.}$ $t=6$ 时, $R( P )=2$
$\text{C.}$ $t \neq 6$ 时, $R( P )=1$
$\text{D.}$ $t \neq 6$ 时, $R( P )=2$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设向量组 $A: a_1, a_2, a_3$ 线性无关, 向量 $b_1$ 能由向量组 $A$ 线性表示, 向量 $b_2$ 不能由向量组 $A$ 线性表示, $k$ 为任意常数. 问:
(1) 向量组 $a_1, a_2, a_3, k b_1+b_2$ 是否线性相关, 为什么?
(2) 向量组 $a _1, a _2, a _3, b _1+k b _2$ 是否线性相关, 为什么?
设向量组 $A: a_1, a_2$, 向量组 $B: b _1, b _2$, 其中
$$
a_1=\left(\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
2 \\
4
\end{array}\right), a_2=\left(\begin{array}{l}
0 \\
3 \\
1 \\
2
\end{array}\right) ; b_1=\left(\begin{array}{c}
3 \\
0 \\
7 \\
14
\end{array}\right), b_2=\left(\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
5 \\
10
\end{array}\right),
$$
（1）证明向量组 $A$ 与 $B$ 等价; (2) 求向量组 $A$ 与 $B$ 的相互线性表示的表示式.
设 $3$ 阶矩阵 $A =\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right), B$ 为 3 阶非零矩阵, 且 $A B = O$. 求 $t$ 的值.
已知方程组
$$
I:\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1,2 n} x_{2 n}=0, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2,2 n} x_{2 n}=0, \\
\cdots \ldots \ldots \ldots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n, 2 n} x_{2 n}=0
\end{array}\right.
$$
的一个基础解系为
$$
\left(\begin{array}{c}
b_{11} \\
b_{12} \\
\vdots \\
b_{1,2 n}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
b_{21} \\
b_{22} \\
\vdots \\
b_{2,2 n}
\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{c}
b_{n 1} \\
b_{n 2} \\
\vdots \\
b_{n, 2 n}
\end{array}\right),
$$
试写出方程组
$$
\text { II : }\left\{\begin{array}{c}
b_{11} y_1+b_{12} y_2+\cdots+b_{1,2 n} y_{2 n}=0, \\
b_{21} y_1+b_{22} y_2+\cdots+b_{2,2 n} y_{2 n}=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
b_{n 1} y_1+b_{n 2} y_2+\cdots+b_{n, 2 n} y_{2 n}=0
\end{array}\right.
$$
的通解，并说明理由。
设 $R ^3$ 中两个基 $a_1, a_2, a_3$ 和 $b_1, b_2, b_3$, 其中
$$
a_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), a_2=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right), a_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right) ; b_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), b_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), b_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right),
$$
（1）求从基 $a_1, a_2, a_3$ 到基 $b_1, b_2, b_3$ 的过渡矩阵;
(2) 设向量 $\beta$ 在基 $a _1, a _2, a _3$ 中的坐标为 $(3,1,2)^{ T }$, 求 $\beta$ 在基 $b _1, b _2, b _3$ 中的坐标.