填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A =\left(a_{i j}\right)_{4 \times 4}, R( A )=3$ ，且 $A$ 的每行元素之和为 0 ，那么方程组 $A x = 0$ 的通解是
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+2 x_3-x_4=0, \\ 2 x_1+x_2+3 x_3+x_4=0, \\ 3 x_1+x_2+4 x_3+3 x_4=0\end{array}\right.$ 的通解．
求解方程组$$
\left\{\begin{array}{c}
x_1-x_2-x_3+x_4=0, \\
x_1-x_2+x_3-3 x_4=2, \\
x_1-x_2-2 x_3+3 x_4=-1 .
\end{array}\right.$$
设向量组 $\alpha _1=(\lambda+3, \lambda, 3 \lambda+3), \alpha _2=(1, \lambda-1, \lambda), \alpha _3=(2,1, \lambda+3), \beta =(\lambda, \lambda, 3)$ ，问 $\lambda$ 取何值时，方程组 $A x = \beta$
（1）无解；
（2）有唯一解；
（3）有无穷多解？
设 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是 3 元非齐次线性方程组 $A x = b$ 的三个解，且 $R( A )=2$ ， $\eta_1+\eta_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 2\end{array}\right), \quad \eta_1+\eta_3=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$ ，求方程组 $A x=b$ 的通解．
设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ ，其中 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 线性无关，$\alpha_2=\alpha_1+2 \alpha_3-\alpha_4$ ， $\alpha_1-\alpha_2-2 \alpha_3+3 \alpha_4+\alpha_5=0$ ，试求 $A x=\alpha_5$ 的通解．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是方程组 $A x=0$ 的基础解系，试证： $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+4 \alpha_3, \alpha_1+3 \alpha_2+9 \alpha_3$ 也是方程组 $A x=0$ 的基础解系．
设四元齐次线性方程组
$$
I:\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2=0, \\
x_2-x_4=0 ;
\end{array} \quad \text { II }:\left\{\begin{array}{l}
x_1-x_2+x_3=0 \\
x_2-x_3+x_4=0
\end{array}\right.\right.
$$
求：（1）方程组I与II的基础解系；（2）I与II的公共解。