填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $x_n=\frac{2^3-1}{2^3+1} \cdot \frac{3^3-1}{3^3+1} \cdots \cdot \frac{n^3-1}{n^3+1},(n=2,3, \cdots)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n=$
已知反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}$ ，则反常积分
$$
\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin \left(\frac{x}{3}\right)}{\frac{x}{3}} \mathrm{~d} x=
$$
点 $M(4,3,10)$ 关于直线 $l: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{5}$ 的对称点的坐标为
若 $f(u, v)$ 的二阶偏导数连续，且满足：$\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=1$ ．又 $z=f\left(x y, \frac{x^2-y^2}{2}\right)$ ， $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=$
设 $\sum_{k=1}^n a_k=0$ ，则计算 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^n a_k \sqrt{k+x}=$
设 $p(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}$ ，则不定积分 $\int \frac{x^n}{p(x)} \mathrm{d} x=$
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x=\int_1^{y-x} e^{-u^2} \mathrm{~d} u$ 确定，求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{y-(1+e) x-1}{x^2} .
$$
计算三重积分 $I=\iiint_{\Omega}(x-y-z)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中
$$
\Omega:(x+y-z)^2+(x-y+z)^2+(x+y+z)^2 \leq 1 .
$$
设 $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin (n x)}{\sin x}\right)^2 \mathrm{~d} x$ ，其中 $n \in \mathbb{N}_{+}$，计算极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{I_n}{n}$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $F_n$ 为斐波那契数列，满足：
$$
F_0=1, F_1=1, F_n=F_{n-1}+F_{n-2},\left(n>1, n \in \mathbb{N}_{+}\right) .
$$
（1）证明：当 $n \geq 1$ 时，有 $\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \leq F_n \leq 2^{n-1}$ ．
（2）问级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{F_n}$ 和 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln \left(F_n\right)}$ 是否收敛？为什么？
（3）求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{F_n F_{n+2} F_{n+3}}$ 的和．