解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶方阵， $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 。并设 $|\boldsymbol{A}|=\frac{1}{2}$ 。计算 $\left|(3 \boldsymbol{A})^{-1}-2 \boldsymbol{A}^*\right|$
已知 $D$ 是一个 4 阶行列式，它的第 4 行元素分别为 $-1,0,2,4$ ，第 3 行元素对应的余子式依次为 $5,10, a, 4$ ．求 $a$ 的值．
设 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 都是 4 阶方阵，其中 $\boldsymbol{A}=\left(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \boldsymbol{\alpha}\right)$ 且 $\boldsymbol{B}=\left(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \boldsymbol{\beta}\right), \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 都是 4 元列向量。并设 $|\boldsymbol{A}|=1$ 且 $|\boldsymbol{B}|=2$ 。计算 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|$ ．
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是一个 3 阶实方阵，$A_{i j}$ 是元素 $a_{i j}$ 的代数余子式。并设 $a_{i j}=A_{i j}(i, j=1,2,3)$ ，其中 $a_{11} \neq 0$ 。求 $|\boldsymbol{A}|$ 。
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系 ．令
$$
\boldsymbol{\beta}_1=t_1 \boldsymbol{\alpha}_1+t_2 \boldsymbol{\alpha}_2, \quad \boldsymbol{\beta}_2=t_1 \boldsymbol{\alpha}_2+t_2 \boldsymbol{\alpha}_3, \cdots, \quad \boldsymbol{\beta}_s=t_1 \boldsymbol{\alpha}_s+t_2 \boldsymbol{\alpha}_1
$$
其中 $t_1, t_2$ 是实常数。问：当 $t_1, t_2$ 满足什么条件时， $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 也是方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系？
设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 3 阶方阵， $\boldsymbol{X}$ 是一个 3 元列向量，使得 $\boldsymbol{A}^3 \boldsymbol{X}=3 \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}-2 \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{X}$ 。并设 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{X}$ 线性无关。令 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{X}\right)$ 。（1）求 3 阶方阵 $\boldsymbol{B}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{B} \boldsymbol{P}^{-1}$ ；（2）计算 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|$
已知二次型 $q\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+2 a x_2 x_3(a>0)$ 在某个正交线性替换 ${ }^{+}$下的标准形为 $y_1^2+2 y_2^2+5 y_3^2$ ．求参数 $a$ 及所用的正交矩阵
在 $\boldsymbol{M}_2(\boldsymbol{F})$ 中，设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 。
（1）证明：与 $\boldsymbol{A}$ 可交换的矩阵集合 $\boldsymbol{W}$ 是 $\boldsymbol{M}_2(\boldsymbol{F})$ 的一个子空间；
（2）写出 $\boldsymbol{W}$ 中矩阵的一般形式；
（3）求 $\boldsymbol{W}$ 的基与维数．
设 $\sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $\boldsymbol{V}$ 上一个线性变换， $\boldsymbol{\xi}$ 是 $\boldsymbol{V}$ 中一个向量．证明：如果 $\sigma^{n-1}(\boldsymbol{\xi}) \neq \boldsymbol{\theta}$ ，但 $\sigma^n(\boldsymbol{\xi})=\boldsymbol{\theta}$ ，那么 $\boldsymbol{\xi}, \sigma(\boldsymbol{\xi}), \cdots, \sigma^{n-1}(\boldsymbol{\xi})$ 是 $\boldsymbol{V}$ 的一个基．求 $\sigma$ 在这个基下的矩阵。
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是一个 $n$ 阶实矩阵。证明：如果对于内积 $\langle\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}\rangle=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}^{\prime}\left(\forall \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^n\right), \mathbb{R}^n$ 构成一个欧氏空间，那么 $\boldsymbol{A}$ 一定是一个正定矩阵。