单选题 （共 25 题 ），每题只有一个选项正确
设对＂$\forall \varepsilon \in(0,1), \exists 一 个$ 正整数 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right| < 2 \varepsilon$＂是 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 的
$\text{A.}$ 充分条件
$\text{B.}$ 必要而非充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件。
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足条件 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)=0$ ，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛的充要条件是（ ）．
$\text{A.}$ 数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界
$\text{B.}$ 数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调
$\text{C.}$ 数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调且有界
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}$ 存在
设数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导，则（ ）．
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在
设 $y=f(x)$ 在 $U\left(x_0, \delta\right)$ 内连续，在 $\stackrel{o}{U}\left(x_0, \delta\right)$ 内可导，以下是三个断语：
（1）若 $f\left(x_0\right) \geq 0$ ，则存在 $\delta_1>0$ ，使得 $\forall x \in U\left(x_0, \delta_1\right)$ ，都有 $f(x) \geq 0$ ；
（2）若 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=x_0$ 连续；
（3）$f^{\prime}(x)$ 在 $\stackrel{o}{U}\left(x_0, \delta\right)$ 内无第一类间断点。
上述三个断语中，正确的个数是
$\text{A.}$ 0 个；
$\text{B.}$ 1 个；
$\text{C.}$ 2 个；
$\text{D.}$ 3 个。
当 $x \rightarrow 1$ 时, 函数 $\frac{x^2-1}{x-1} e ^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限
$\text{A.}$ 等于 2 .
$\text{B.}$ 等于 0 。
$\text{C.}$ 为 $\infty$ 。
$\text{D.}$ 不存在但不为 $\infty$
在下列微分方程中, 以 $y=C_1 e ^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意常数）为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$.
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$.
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$.
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$.
设 $A, B, C$ 为待定常数，微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=2 e ^x \sin ^2 x$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $A e ^x+x e ^x(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{B.}$ $A e ^x \sin ^2 x$
$\text{C.}$ $A e ^x+ e ^x(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{D.}$ $A e ^x \cos ^2 x$
利用泰勒公式，当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x$ 的等价无穷小为（ ）。
$\text{A.}$ $5 x^2$
$\text{B.}$ $7 x^2$
$\text{C.}$ $-5 x^2$
$\text{D.}$ $-7 x^2$
设 $f(x)=\int_0^{\sin x}(1-\cos t) d t, g(x)=\tan x-\sin x$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 高阶无穷小
$\text{B.}$ 低阶无穷小
$\text{C.}$ 等价无穷小
$\text{D.}$ 同阶而非等价无穷小
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t, \\ y=t \sin t+\cos t,\end{array}\right.$ 参数为 $t$ ，则 $\left.\frac{ d y}{d x}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ $\pi$
当 $x>0$ 时，曲线 $y=x \sin \frac{1}{x}()$ ．
$\text{A.}$ 有且仅有水平渐近线
$\text{B.}$ 有且仅有垂直渐近线
$\text{C.}$ 既有水平渐近线又有垂直渐近线
$\text{D.}$ 既无水平渐近线也无垂直渐近线
设周期函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, 周期为 4. 又 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1)-f(1-x)}{2 x}=-1$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(5, f(5))$ 处的切线的斜率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ 0 .
$\text{C.}$ $-1$.
$\text{D.}$ $-2$.
设 $f(x), g(x)$ 是恒大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0$ ，则当 $a < x < b$ 时，下列结论成立的是（ ）
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
设有方程 $x f^{\prime \prime}(x)+3 x\left[f^{\prime}(x)\right]^2=1- e ^{-x}, f^{\prime}\left(x_0\right)=0\left(x_0 \neq 0\right)$ ，则
$\text{A.}$ $f\left(x_0\right)$ 为 $f(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f\left(x_0\right)$ 为 $f(x)$ 的极小值
$\text{C.}$ $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 为 $f(x)$ 的图形的拐点
$\text{D.}$ $f\left(x_0\right)$ 不是极值，$\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 也不是拐点
函数 $f(x)=x e^x$ 的带有皮亚诺型余项的 $n$ 阶麦克劳林公式为 ( ).
$\text{A.}$ $x e^x=x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o\left(x^n\right)$
$\text{B.}$ $x e^x=x+x^2+\frac{x^3}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{(n-1)!}+o\left(x^n\right)$
$\text{C.}$ $x e^x=x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$
$\text{D.}$ $x e^x=x+x^2+\frac{x^3}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n-1}+o\left(x^n\right)$
下列反常积分收敛的是 ( ).
$\text{A.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} d x$
$\text{C.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \sin x d x$
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{d x}{\sqrt{x}}$
已知 $f(x)=3 x^2-\int_0^1 f(t) d t$ ，则 $f(x)=(\quad)$
$\text{A.}$ $3 x^2$
$\text{B.}$ $3 x^2-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $3 x^2-1$
$\text{D.}$ $3 x^2-2$
一物体按规律 $s=t^2$ 做直线运动, 介质的阻力 $F$ 与速度 $v$ 的平方成正比 $\left(F=k v^2, k\right.$ 是比例常数), 则物体从 $s=0$ 移到 $s=a$ 克服介质阻力所作的功为 ( ).
$\text{A.}$ $\int_0^{\sqrt{a}} 8 k t^3 d t$
$\text{B.}$ $\int_0^a 8 k t^3 d t$
$\text{C.}$ $\int_0^{\sqrt{a}} k v^2 d t$
$\text{D.}$ $\int_0^a k v^2 d t$
设单位质点 $P, Q$ 分别位于点 $(0,0)$ 和 $(0,1)$ 处，$P$ 从点 $(0,0)$ 出发沿 $x$ 轴正向移动，记 $G$ 为引力常量，则当质点 $P$ 移动到点 $(l, 0)$ 时，克服质点 $Q$ 的引力所做的功为（）．
$\text{A.}$ $\int_0^l \frac{G}{x^2+1} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^l \frac{G x}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^l \frac{G}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^l \frac{G(x+1)}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
交换积分次序，则二次积分 $\int_0^1 d y \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) d x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\int_0^1 d x \int_{\sqrt{x}}^x f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d x \int_x^{\sqrt{x}} f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^2}^x f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_x^{x^2} f(x, y) d y$
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$, 则 $\iint_D \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ $4 \iint_{D_1} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_1=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$.
$\text{C.}$ $4 \iint_{D_2} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_2=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0, y \leqslant 0\right\}$.
$\text{D.}$ $2 \iint_{D_3} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_3=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$.
设 $I_1=\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1}\left(x^2+y^2\right) d \sigma, I_2=\iint_{|x|+|y| \leqslant 1} 2|x y| d \sigma, I_3=\iint_{|x|+|| | \leq 1}\left(x^2+y^2\right) d \sigma$ ，则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
已知二元函数 $f(x, y)=\frac{ e ^x}{x-y}$ ，下列式子正确的是（ ）
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=0$
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=f$
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=0$
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=f$
设函数 $z=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 且满足等式 $9 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$. 若变换 $\left\{\begin{array}{l}u=x-3 y, \\ v=x+a y\end{array}\right.$ 可把上述等式化简为 $\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}=0$, 则常数 $a=$
$\text{A.}$ -3 .
$\text{B.}$ -2 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3 .
已知函数 $f(x, y)=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2-x y}$, 则 $x \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}+y \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2.
$\text{D.}$ 3 .
$\text{E.}$ 4