【28195】 【 《高等数学》单元基础测评9/10- 多元积分学】 解答题 已知二元函数 $f(x,y)$ 连续，利用积分中值定理求极限： $\underset{r\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{r^2}{\iint }_{x^2+y^2\le r^2}{e}^{x-y}\cos \left(x{y}^2\right)dxdy$ ．

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【28194】 【 2025北京高考数学真题及答案解析】 解答题 $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\},M=\{(x_i,y_i)\mid x_i\in A,y_i\in A\}$ ，从 $M$ 中选出 $n$ 个有序数对构成一列： $(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)$ ．相邻两项 $(x_i,y_i),(x_{i+1},y_{i+1})$ 满足：$\{\begin{array}{l}|x_{i+1}-x_i|=3\\ |y_{i-1}-y_i|=4\end{array}$ 或 $|\begin{array}{l}|x_{i+1}-x_i|=4\\ |y_{i+1}-y_i|=3\end{array}$, 称为 $k$ 列． （1）若 $k$ 列的第一项为 $(3,3)$ ，求第二项． （2）若 $\tau$ 为 $k$ 列，且满足 $i$ 为奇数时，$x_i\in \{1,2,7,8\}:i$ 为偶数时，$x_i\in \{3,4,5,6\}$ ；判断：$(3,2)$与 $(4,4)$ 能否同时在 $\tau$ 中，并说明； （3）证明：$M$ 中所有元素都不构成 $k$ 列

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【28193】 【 2025北京高考数学真题及答案解析】 解答题 函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,+\mathrm{\infty }),f(0)=0,f^{\prime }(x)=\frac{\ln (1+x)}{1+x},l_1$ 为 $A(a,f(a))(a\ne 0)$ 处的切线． （1）$f^{\prime }(x)$ 的最大值； （2）证明：当 $-1<a<0$ 时，除点 $A$ 外，曲线 $y=f(x)$ 均在 $l_1$ 上方； （3）若 $a>0$ 时，直线 $l_2$ 过 $A$ 且与 $l_1$ 垂直，$l_1,l_2$ 分别于 $x$ 轴的交点为 $x_1$ 与 $x_2$ ，求 $\frac{2a-x_1-x_2}{x_2-x_1}$ 的取值范围．

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【28192】 【 2025北京高考数学真题及答案解析】 解答题 19．已知 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆上的点到两焦点距离之和为 4 ， （1）求椭圆方程； （2）设 $O$ 为原点，$M(x_0,y_0)(x_0\ne 0)$ 为椭圆上一点，直线 $x_{0}x+2y_{0}y-4=0$ 与直线 $y=2,y=-2$交于 $A,B$ ．$\mathrm{△}OAM$ 与 $\mathrm{△}OBM$ 的面积为 $S_1,S_2$ ，比较 $\frac{S_1}{S_2}$ 与 $\frac{|OA|}{|OB|}$ 的大小．

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【28191】 【 2025北京高考数学真题及答案解析】 解答题 有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取 100 人，甲校有 80 人答对，乙校有 75 人答对，用频率估计概率． （1）从甲校随机抽取 1 人，求这个人做对该题目的概率． （2）从甲、乙两校各随机抽取 1 人，设 $X$ 为做对的人数，求恰有 1 人做对的概率以及 $X$ 的数学期望． （3）若甲校同学掌握这个知识点，则有 $100\mathrm{\%}$ 的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有 $85\mathrm{\%}$ 的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为 $p_1$ ，乙校学生掌握该知识点的概率为 $p_2$ ，试比较 $p_1$ 与 $p_2$的大小（结论不要求证明）

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【28190】 【 2025北京高考数学真题及答案解析】 解答题 四棱锥 $P-ABCD$ 中，$\mathrm{△}ACD$ 与 $VABC$ 为等腰直角三角形，$\mathrm{\angle }ADC={90}^{\circ },\mathrm{\angle }BAC={90}^{\circ }$ ， $E$ 为 $BC$ 的中点． （1）$F$ 为 $PD$ 的中点，$G$ 为 $PE$ 的中点，证明：$FG//$ 平面 $PAB$ ； （2）若 $PA\perp$ 平面 $ABCD,PA=AC$ ，求 $AB$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值． [img=/uploads/2025-06/4b80f0.jpg][/img]

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【28189】 【 2025北京高考数学真题及答案解析】 解答题 在三角形 $ABC$ 中， $\cos A=-\frac{1}{3},a\sin C=4\sqrt{2}$ ． （1）求 $c$ ； （2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得 $ABC$ 存在，求 $BC$ 的高． ① $a=6$ ； ② $b\sin C=\frac{10\sqrt{2}}{3}$ ； ③ $ABC$ 面积为 $10\sqrt{2}$ ．

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【28188】 【 2025北京高考数学真题及答案解析】 填空题 关于定义域为 $R$ 的函数 $f(x)$ ，以下说法正确的有 $$。 （1）存在在 $R$ 上单调递增的函数 $f(x)$ ，使得 $f(x)+f(2x)=-x$ 恒成立； （2）存在在 $R$ 上单调递减的函数 $f(x)$ ，使得 $f(x)+f(2x)=-x$ 恒成立； （3）使得 $f(x)+f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个； （4）使得 $f(x)-f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个．

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【28187】 【 2025北京高考数学真题及答案解析】 填空题 某科技兴趣小组通过 3D 打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中 $ABCDEF$是一个平行多边形，平面 $ARF\perp$ 平面 $ABC$ ，平面 $TCD\perp$ 平面 $ABC$ ， $AB\perp BC,AB//RS//EF//CD,AF//ST//BC//ED$ ，若 $AB=BC=8,AF=CD=4,AR=RF=TC=TD=\frac{5}{2}$ ，则该多面体的体积为 $$ ． [img=/uploads/2025-06/bec99b.jpg][/img]

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【28186】 【 2025北京高考数学真题及答案解析】 填空题 已知 $\alpha ,\beta \in [0,2\pi ]$ ，且 $\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha -\beta ),\cos (\alpha +\beta )\ne \cos (\alpha -\beta )$ ，写出满足条件的一组 $\alpha =$ $$ ，$\beta =$

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