【33930】 【 空间向量及其运算】 解答题 设 $\vec{a}, \vec{b}$ 为两个非零向量，$|\vec{b}|=1,(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})=\frac{\pi}{3}$ ，计算极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|\vec{a}+x \vec{b}|-|\vec{a}|}{x} . $$

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【33929】 【 空间向量及其运算】 解答题 问当 $t$ 为何值时，空间四点 $A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3)$ ， $D(-1,2, t)$ 共面？并求平面四边形 $A B C D$ 的面积．

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【33928】 【 空间向量及其运算】 解答题 设向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 不共面，且 $\mathbf{d}=\boldsymbol{\alpha} \mathbf{a}+\boldsymbol{\beta} \mathbf{b}+\gamma \mathbf{c}$ ，如果 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}$ 有公共起点． （1）问系数 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 应满足什么条件，才能使向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}$ 的终点在同一平面上？ （2）如果 $\mathbf{a}=(1,2,1), \mathbf{b}=(0,3,1), \mathbf{c}=(2,0,3)$ ，判定向量 $\mathbf{a , b , c}$ 是否共面？ （3）设 $\mathbf{d}=(-\mathbf{1},-\mathbf{3}, \mathbf{1})$ ，由（2）求 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \gamma$ ，使得 $$ \mathbf{d}=\alpha \mathbf{a}+\beta \mathbf{b}+\gamma \mathbf{c} $$ 如果 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}$ 有公共起点，它们是否共面？

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【33927】 【 空间向量及其运算】 解答题 判定四点 $A(1,1,1), B(4,5,6), C(2,3,3), D(10,15,17)$ 是否共面？

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【33926】 【 空间向量及其运算】 解答题 已知一四面体的顶点为 $A_k\left(x_k, y_k, z_k\right)(k=1,2,3,4)$ ，求该四面体的体积．

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【33925】 【 空间向量及其运算】 解答题 设向量 $\vec{a}=\vec{i}+2 \vec{j}-\vec{k}, \vec{b}=-\vec{i}+\vec{j}$ ． （1）计算 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 及 $\vec{a} \times \vec{b}$ ； （2）求它们夹角 $\theta$ 的正弦与余弦； （3）求垂直两向量所在平面的单位向量．

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【33924】 【 空间向量及其运算】 填空题 设有一向量与 $x$ 轴正向、 $y$ 轴正向的夹角相等，而与 $z$ 轴正向的夹角是前者的两倍，求与该向量同方向的单位向量．

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【33923】 【 空间向量及其运算】 填空题 已知向量 $\vec{a}=(2,-3,6), \vec{b}=(-1,2,-2)$ ，又向量 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角的平分线上，且 $|\vec{c}|=3 \sqrt{42}$ ，求向量 $\vec{c}$

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【33922】 【 空间向量及其运算】 填空题 设点 $A$ 位于第一卦限，向径 $\overrightarrow{O A}$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴的夹角依次为 $\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}$ ，且 $|O A|=6$ ，求点 $A$ 的坐标

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【33921】 【 空间向量及其运算】 填空题 设 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=2$ ，则 $[(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})] \cdot(\vec{c}+\vec{a})=$

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