【30063】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 解答题 求下列极限： （1） $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^n}{e^{\lambda x}}(n$ 为正整数，$\lambda >0)$ ； （2） $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^n\ln x(n>0)$ ．

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【30062】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 解答题 求下列极限． （1）求 $\underset{x\to 0+}{lim}{x}^x$ ； （2）求 $\underset{x\to 1}{lim}(2-x{)}^{\tan \frac{\pi x}{2}}$ ．

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【30061】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 设函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内 2 阶可导，且有最大值 1 和最小值 0 ，证明：$\mathrm{\exists }\xi \in (0,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime }(\xi )>2$ ．

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【30060】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，在 $(0,1)$ 内二阶连续可导，证明：至少存在一点 $\xi \in (0,1)$ ，使得 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}f(0)+\frac{1}{2}f(1)-\frac{1}{8}{f}^{\prime \prime }(\xi )$

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【30059】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 求极限 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1-x-\frac{x}{2}\sin x}{\sin x-x\cos x}$ ．

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【30058】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $$f^{\prime }(\xi )=2\xi [f(1)-f(0)]$$

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【30057】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $[a,b]$ 上可导，且 $f(a)=f(b)=1$ ，证明：$\mathrm{\exists }\xi ,\eta \in (a,b)$ ，使得 $e^{\eta -\xi }[f^{\prime }(\eta )+f(\eta )]=1$ 成立．

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【30056】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 $0<a<b$ ，证明：$\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$ ，使得 $a\ln b-b\ln a=(a{b}^2-b{a}^2)\frac{1-\ln \xi }{{\xi }^2}$ ．

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【30055】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 证明当 $x>0$ 时，$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$ ．

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【30054】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 0,1 上可导，$f(1)=C$ ，证明：在 0,1 内存在 $\xi$ ，使得 $f^{\prime }(\xi )=-\frac{f(\xi )}{\xi }$.

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