【34166】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 解答题 设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & 5 & a \\ 0 & 2 & b\end{array}\right)$ 相似， $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ 是方程组 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的两个线性无关的解， $\boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}-5 \\ -5 \\ 5\end{array}\right)$ 的一个解． （I）求 $\boldsymbol{A}$ ；（II）求 $a, b$ ；（III）求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{B P}=\boldsymbol{A}$ ．

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【34165】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 解答题 设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上非负可导，$f(0)=2, f(1)=0$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=1$ ． （I）证明存在 $c \in(0,+\infty)$ ，有 $f(c)=2$ ； （II）证明存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，有 $f^{\prime}(\xi)+f^2(\xi)=4$ ．

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【34164】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 解答题 设 $\Sigma$ 是球心在原点，半径为 $t$ 的球面，取外侧，函数 $f(u)$ 可导，且 $f(0)=1$ ，若 $$ I(t)=\oint_{\Sigma} x f(y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y f(z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z f(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, $$ 计算极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{I(t)}{\pi t^3}$ ．

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【34163】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 解答题 设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1>0, a_n=\arctan \left(a_n+\tan a_{n+1}\right)(n=1,2, \cdots)$ ，证明： （I）极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在；（II）级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛；（III）级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n^2}$ 收敛。

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【34162】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 解答题 设连续函数$f(x)$ 满足$ f(x)=\sin x+\frac{1}{2} \int_x^{\frac{\pi}{2}} f(y) f(y-x) \mathrm{d} y$ ，求 $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$

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【34161】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 填空题 设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x, & 0<x<1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 对 $X$ 进行独立重复的观测，直到第 3个小于 $\frac{1}{2}$ 的观测值出现时停止，记 $Y$ 为观测次数，则期望 $E Y=$ $\_\_\_\_$ ．

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【34160】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 填空题 设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{A}^{-1}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵，则满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{-1}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E})+\boldsymbol{E}$ 的方阵 $\boldsymbol{B}=$ $\_\_\_\_$

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【34159】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 填空题 设 $f(x)$ 为偶函数，且 $f^{\prime}(x)-\int_0^x f(t-x) \mathrm{d} t=2 \sin x$ ，则 $f(x)=$

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【34158】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 填空题 二次积分 $I=\int_{-1}^0 \mathrm{~d} x \int_{-1}^x\left[\cos \left(y^2\right)+x^2 \sin (x+y)\right] \mathrm{d} y+\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_x^1\left[\cos \left(y^2\right)+x^2 \sin (x+y)\right] \mathrm{d} y =$

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【34157】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 填空题 设函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，且 $\left.\mathrm{d} f\right|_{(0,0)}=-\mathrm{d} x+\mathrm{d} y$ ，若 $$ g(x, y)=f\left(x^2+y, x+y^2\right)-f(x, y), $$ 则 $\left.\mathrm{d} g\right|_{(0,0)}=$

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