解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(x^3-x^2+\frac{x}{2}\right) e ^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^6+1}\right]$.
将 $f(x)=\sin x, x \in[0, \pi]$ 展开成余弦级数.
计算曲线积分 $\oint_L \frac{(x+y) d x-(x-y) d y}{x^2+y^2}$ ，其中 $L: x^2+y^2=a^2(a>0)$ ，取逆时针。
计算二重积分 $\iint_L e ^{\frac{y}{x+y}} d x d y$ ，其中 $D$ 为 $x=0, y=0, x+y=1$ 所围区域.
计算曲面积分 $\iint_S x d y d z+y d z d x+z d x d y$ ，其中 $S: x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)$ ，方向外侧.
已知 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n=b$ ，证明:
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 b_n+a_2 b_{n-1}+\cdots+a_{n-1} b_2+a_n b_1}{n}=a b
$$
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上二阶连续可导且 $M_0=\sup \{|f(x)| \mid x \in(0,+\infty)\}$ 以及
$$
M_1=\sup \left\{\mid f^{\prime}(x) \| x \in(0,+\infty)\right\}, M_2=\sup \left\{\mid f^{\prime \prime}(x) \| x \in(0,+\infty)\right\}
$$
均为有限数，证明: $M_1 \leq 2 \sqrt{M_0 M_2}$.
设 $\left\{x_n\right\}$ 为 $(0,1)$ 上各项互异的数列，试讨论函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_n\right)}{2^n}$ 在 $(0,1)$ 上的一致收敛性及极限函数的连续性.
设 $f(x)$ 在 $R$ 上连续，且 $g(x)=f(x) \int_0^x f(t) d t$ 单调递减，证明: $f(x) \equiv 0$.
讨论 $f(x)=\int_0^{\infty} x e ^{-x y} d y$ 在 $(0,+\infty)$ 上的一致收敛性.
证明: 函数 $f(x)$ 在有界区间上一致连续的充分必要条件是当 $\left\{a_n\right\}$ 是 $I$ 上的任意Cauchy数列时， $\left\{f\left(a_n\right)\right\}$ 也是Cauchy数列。
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，且 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n+1}-b_n\right)$ 绝对收敛.
(1)叙述Abel变换，并求 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 的部分和;
(2)证明:数列 $\left\{b_n\right\}$ 收敛；
(3)证明: $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛.