设函数 $g(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上二阶连续可微，且满足
$g(0)=g^{\prime}(0)=0, g^{\prime \prime}(0)=2 a$
设 $f(x)=\frac{g(x)}{x},(x \neq 0), f(0)=0$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．

求定积分 $I=\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{1+x^2} d x$ ．

若 $F(t)=\iiint_{\Omega} f\left(x^2+y^2+z^2\right) d x d y d z$ ，其中 $f$ 是 $R$ 上的可微函数且 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq t^2\right\}, t>0$ ．
（1）计算 $F^{\prime}(t)$
（2）若 $f^{\prime}(0)=0$ ，计算极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^5}$ ．

设 $f(x)=\frac{1}{1-x^2}$ ．
（1）求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[f\left(1-\frac{1}{n+1}\right)-f\left(1-\frac{1}{n}\right)\right]$ ．
（2）证明：函数 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上不一致连续．

设 $u_n(x)=x^n \ln x, x \in(0,1]$ ，讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $(0,1]$ 上的敛散性和一致收敛性，并计算 $\int_0^1 \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) d x$ ．

设 $u(x, y, z)$ 是 $R ^3$ 上的连续函数，而且它在点 $M\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 的某个邻域上有连续的二阶偏导数，记 $\Sigma$ 是以 $M\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 为球心，$R$ 为半径的球面．令 $T(R)=\frac{1}{4 \pi R^2} \iint_{\Sigma} u(x, y, z) d S, R>0$ ．证明：
（1） $\lim _{R \rightarrow 0^{+}} T(R)=u\left(x_0, y_0, z_0\right)$ ．
（2）若 $\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$ ，则

$$
\lim _{R \rightarrow 0^{+}} \frac{T(R)-u\left(x_0, y_0, z_0\right)}{R^2}=\frac{1}{6} \Delta u\left(x_0, y_0, z_0\right)
$$


其中 $\left.\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)\right|_{\left(x_0, y_0, z_0\right)} \neq 0$ ．

设 $f(x)$ 在开区间 $(0,1)$ 上可导，导函数 $f^{\prime}(x)$ 在开区间 $(0,1)$ 上有界，证明：函数 $f(x)$ 在开区间 $(0,1)$ 上有界且一致连续．

设 $f(x, y)=\varphi(|x y|)$ ，且在 $u=0$ 的附近满足：$|\varphi(u)| \leq u^2$ ．证明： $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 处可微．

设非负连续函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，证明：$F(x)=\int_0^x(x-2 t) f(t) d t$
在 $[0,+\infty)$ 上是凸函数．