解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}}$ ．
计算$\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n^4}\left(1+2^3+\cdots+n^3\right)$ ．
求二重积分 $I=\iint_D(x+y) \sin (x-y) d x d y$ ，其中
$$
D=\{(x, y): 0 \leq x+y \leq \pi, 0 \leq x-y \leq \pi\}
$$
求曲面积分 $I=\iint_{\Sigma}\left(y^2-x\right) d y d z+\left(z^2-y\right) d z d x+\left(x^2-z\right) d x d y$ ，其中 $\Sigma=\left\{(x, y, z): z=1-x^2-y^2, z \geq 0\right\}$ ，方向取外侧．
应该如何把给定在区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 上的可积或绝对可积函数 $f(x)$ 延拓到区间 $(-\pi, \pi)$ ，使得它的傅里叶级数展开式具有以下形式：
$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{2 n-1} \sin ((2 n-1) x),(-\pi < x < \pi)
$$
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0, \pi]$ 上连续可积，且 $\int_0^\pi f(x) d x=\pi$ ．求系数 $c_1, c_2, \cdots, c_n$ ，使得 $\int_0^\pi\left[f(x)-\sum_{k=1}^n c_k \cos (k x)\right]^2 d x$ 最小，并求
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^n c_k \cos (k x)=F(x)
$$
的表达式．
设函数 $f(x)$ 三次连续可微，且 $f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=0, f^{\prime \prime \prime}(0)=-1$ ．设 $f\left(a_n\right)=a_{n+1}$ ，且 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n=0$ ，求 $\lim _{n \rightarrow+\infty} n\left(a_n\right)^2$ ．
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调且收敛于 0 ，证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos (n x)$ 在 $[a, 2 \pi-a]$ $(0 < a < \pi)$ 上一致收敛．
求 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^n$ 的收敛域与和函数．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续可微，且 $f(0)=0$ ，证明：
$$
\int_0^1\left|f^{\prime}(x) f(x)\right| d x \leq \frac{1}{2} \int_0^1\left|f^{\prime}(x)\right|^2 d x
$$