解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f$ 为 Lebesgue 可测集 $E \subset \mathbb{R}^n$ 上几乎处处大于零的 Lebesgue 可测函数，且满足
$$
\text { (L) } \int_E f \mathrm{~d} m=0
$$
证明：$m(E)=0$ ．
设 $f$ 为 $E \subset \mathbb{R}^n$ 上的非负 Lebesgue 可测函数，且 $m(E) < +\infty$ ．证明：
$f$ 为 $E$ 上的 Lebesgue 可积函数 $\Leftrightarrow \sum_{k=0}^{\infty} 2^k \cdot m\left(\left\{x \in E \mid f(x) \geqslant 2^k\right\}\right)$ 收敛．
设 $f$ 为 $E \subset \mathbb{R}^n$ 上的 Lebesgue 可测函数，$m(E) < +\infty$ ．证明：
$f^2$ 为 $E$ 上的 Lebesgue 可积函数 $\Leftrightarrow \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot m(\{x \in E| | f(x) \mid>k\}) < +\infty$ ．如果 $m(E)=+\infty$ ，举例说明充分性不成立。
设 $f \in \mathscr{L}\left(\mathbb{R}^1\right), \alpha>0$ ．证明：在 $\mathbb{R}^1$ 上，有
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} n^{-\alpha} f(n x) \doteq 0
$$
设 $\left\{f_k\right\}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的非负 Lebesgue 可积函数列，若对任何 Lebesgue 可测集 $E \in \mathbb{R}^n$ ，都有
$$
\int_E f_k \mathrm{~d} m \leqslant \int_E f_{k+1} \mathrm{~d} m
$$
设 $\left\{E_k\right\}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上测度有限的 Lebesgue 可测集列，且有
$$
\lim _{k \rightarrow+\infty}(\mathrm{L}) \int_{\mathrm{R}^n}\left|\chi_{E_k}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0
$$
设 $f$ 为定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的实函数，对 $\forall \varepsilon>0, \exists g, h \in \mathscr{L}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 满足
$$
g(\boldsymbol{x}) \leqslant f(x) \leqslant h(\boldsymbol{x}), \forall \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n,
$$
且有
$$
\text { (L) } \int_{\mathrm{R}^n}[h(\boldsymbol{x})-g(\boldsymbol{x})] \mathrm{d} \boldsymbol{x} < \varepsilon .
$$
证明：$f \in \mathscr{L}\left(\mathbb{R}^n\right)$ ．