解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算积分 $\int_0^1 \arctan \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) \mathrm{d} x$ 的值.
若 $b>1$ ， 计算 $\lim _{n \rightarrow+\infty}(\sqrt[n]{b}-1) \sum_{i=0}^{n-1} b^{\frac{i}{n}} \sin \left(b^{\frac{2 i+1}{2 n}}\right)$.
设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的函数，当 $x \in[-\pi, \pi]$ 时，有
$$
f(x)=\frac{\pi}{2} \cdot \frac{e^x+e^{-x}}{e^\pi-e^{-\pi}}
$$
试将 $f(x)$ 展开周期为 $2 \pi$ 的傅里叶级数.
设 $I(y)=\int_0^{+\infty} \frac{e^{-y x}}{1+x^2} \mathrm{~d} x$ ，当 $y>0$ 时，求 $I^{\prime \prime}(y)+I(y)-\frac{1}{y}$.
已知函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导函数，且满足 $f^{\prime}(x)>0$ ， $a \leq f(x) \leq b$. 证明:
(1) 对 $\forall x_1, x_2, x_3 \in(a, b), \exists c \in(a, b)$ ，使得
$$
f^{\prime}(c)=\sqrt[3]{f^{\prime}\left(x_1\right) f^{\prime}\left(x_2\right) f^{\prime}\left(x_3\right)}
$$
(2) $\exists \xi \in(a, b)$ ，使得
$$
f(f(f(a)))-f(f(f(b)))=\left(f^{\prime}(\xi)\right)^3(a-b)
$$
设函数 $g(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续可微， $g(0)=0$ ，试证:
$$
\int_0^a\left|g(x) g^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{a}{2} \int_0^a\left|g^{\prime}(x)\right|^2 \mathrm{~d} x
$$
其中等号成立当且仅当 $g(x)=c x$ ( $c$ 为常数) 时成立.
设 $\varphi(x, y, z)$ 为原点到椭球面 $\Sigma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 上点 $(x, y, z)$处的切平面的距离，其中 $a>0, b>0, c>0$ ，计算 $\iint_{\Sigma} \varphi(x, y, z) \mathrm{d} S$.
求 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+1)(2 k+1)(4 k+1)(4 k+3)}$ 的和.
设光滑封闭曲面 $S: F(x, y, z)=0$ ，证明： $S$ 上两个相距最远点处的切平面相互平行, 且垂直于这两点的连线.
设 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=1$. 又
$$
g(x, y)=f\left[x y, \frac{1}{2}\left(x^2-y^2\right)\right]
$$
若 $G(x, y)=\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$ ，试求 $G(x, y)$ 的表达式.
设曲面 $\Sigma$ 是由空间曲线 $C: x=t, y=2 t, z=t^2,(0 \leq t \leq 1)$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的旋转曲面，其法向量与 $z$ 轴正向成钝角. 已知连续函数 $f(x, y, z)$ 满足
$$
f(x, y, z)=(x+y+z)^2+\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
求 $f(x, y, z)$ 的表达式
设 $D=\{(x, y): 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\} ， f(x, y)$ 在 $D$ 上有连续的四阶偏导数，在 $D$ 的边界上取值为 0 . 证明:
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\left|\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma\right| \leq \frac{1}{144} \max _{(x, y) \in D}\left|\frac{\partial^4}{\partial x^2 \partial y^2} f(x, y)\right|
$$