单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=x\left[\frac{1}{x}\right](x>0)$, 其中 $\left[\frac{1}{x}\right]$ 表示不超过 $\frac{1}{x}$ 的最大整数, 则( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 连续
$\text{B.}$ $f(x)$ 只有有限个第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 只有无限个跳跃间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 只有无限个可去间断点
由摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array},(0 \leq t \leq 2 \pi)\right.$ 和 $x$ 轴所围均匀薄板的重心心坐标是 $($ )
$\text{A.}$ $\left(\frac{5}{6} a, a\right)$
$\text{B.}$ $\left(a, \frac{5}{6} a\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{5}{6} a, \pi a\right)$
$\text{D.}$ $\left(\pi a, \frac{5}{6} a\right)$
已知 $\frac{1}{n+1} < a_n < \frac{1}{n}(n=1,2, \cdots)$, 则下列级数收敛的个数为( )
(1) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \sqrt{a_n}$
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$
(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+a_n}{n}$
(4) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{\sin a_n}{a_n}\right)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $\alpha, \beta$ 为 $n$ 维单位列向量, $P$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 则下列线性方程组中只有零解的是
$\text{A.}$ $\left(E-\alpha \alpha^T\right) x=0$
$\text{B.}$ $\left(\alpha^T P \alpha P^{-1}-\alpha \alpha^T\right) x=0$
$\text{C.}$ $\left(\alpha^T P^{-1} \beta P-\beta \alpha^T\right) x=0$
$\text{D.}$ $\left(E+\beta \beta^T\right) x=0$
设随机变量 $X_n(n \geq 1)$ 相互独立,且都在 $(-1,1)$ 上服从均匀分布, $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数,则 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n}} \leqslant 1\right\}=(\quad$,
$\text{A.}$ $\Phi\left(\frac{1}{2}\right)$
$\text{B.}$ $\Phi(\sqrt{2})$
$\text{C.}$ $\Phi(\sqrt{3})$
$\text{D.}$ $\Phi(0)$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设二元函数 $f(x, y)$ 有一阶连续偏导数, 且 $f(0,1)=f(1,0)$. 证明: 在单位圆周 $x^2+y^2=1$ 上至少存在两个不同的点满足方程 $y \frac{\partial f}{\partial x}=x \frac{\partial f}{\partial y}$.
设函数 $f(x)=\frac{1}{1-2 x-x^2}$.
(I) 将 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数;
(II) 证明: 级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收敛.
设随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度函数为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}1, & |x| < y < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$. 求:
(I) 条件概率密度函数 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$ 及条件概率 $P\left\{\left.Y>\frac{1}{2} \right\rvert\, X=\frac{1}{3}\right\}$;
(II) $Z=Y-2 X$ 的概率密度函数;
(II) 协方差 $\operatorname{Cov}(X, Z)$.
设四阶矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$, 其中 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关, $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关.
(I) 若 $\xi=(1,2,3, a)^T$ 为 $A x=0$ 的解, 求常数 $a$ 的值;
(II) 若 $\eta=(2, b, c, d)^T$ 是 $A x=\beta$ 的解, $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4$, 求 $b, c, d$ 的值.