单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内有二阶导数, 满足 $f(0)=0, f^{\prime \prime}(x) < 0$, 又 $0 < a < b$, 则当 $a < x < b$ 时，恒有（）
$\text{A.}$ $a f(x)>x f(a)$
$\text{B.}$ $x f(x)>a f(a)$
$\text{C.}$ $x f(x)>b f(b)$
$\text{D.}$ $b f(x)>x f(b)$
已知 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(1)=1, f^{\prime}(1)=-1$, 则函数 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 内( )
$\text{A.}$ 有极值点，无零点
$\text{B.}$ 无极值点, 有零点
$\text{C.}$ 有极值点, 有零点
$\text{D.}$ 无极值点, 无零点
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$, 则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 f\left( e ^{x^2}\right)}-\sqrt{1+f\left(1+\sin ^2 x\right)}}{\ln \cos x}$ 为
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $-a$
$\text{C.}$ $3 a$
$\text{D.}$ $-3 a$
设二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+y=0$ 的每一个解 $y(x)$ 都在区间 $(0,+\infty)$ 上有界, 则实数 $b$ 的取值范围是( )
$\text{A.}$ $[0,+\infty)$
$\text{B.}$ $(-\infty, 0)$
$\text{C.}$ $(-\infty, 4)$
$\text{D.}$ $(-\infty,+\infty)$
设 $f(x)$ 是连续的偶函数，且 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期，则 $g(x)=\int_0^x \sin (x-t) f(t) d t$ 必是 $($ ）
$\text{A.}$ 奇函数
$\text{B.}$ 偶函数
$\text{C.}$ 以 $\pi$ 为周期的奇函数
$\text{D.}$ 以 $2 \pi$ 为周期的偶函数
一个容器的内侧是由曲线 $x^2+y^2=a^2\left(y \leq \frac{a}{2}, a>0\right)$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面, 其中长度单位为 $m$ ，重力加速度为 $g\left(m / s^2\right)$ ，水的密度为 $\rho\left( kg / m ^3\right)$ ，若将容器内盛满的水从容器中全部抽出至少需要做的功为（）
$\text{A.}$ $\frac{45}{64} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{B.}$ $\frac{45}{32} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{C.}$ $\frac{45}{16} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{D.}$ $\frac{45}{8} \rho g \pi a^4(J)$
若 $u(x, y)$ 的二阶偏导数存在且 $u \neq 0$ ，则条件 $u \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}$ 是 $u(x, y)=f(x) g(y)$ 的
$\text{A.}$ 充分非必要条件
$\text{B.}$ 充要条件
$\text{C.}$ 既非充分也非必要条件
$\text{D.}$ 必要非充分条件
设实矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足 $a_{i j}=A_{i j}(i, j=1,2,3)$ 且 $a_{33}=-1$, 则下列命题正确的是( )
(1)矩阵 $A$ 是实对称矩阵.
(2)矩阵 $A$ 是正交矩阵.
(3)矩阵 $A$ 与三阶单位矩阵等价.
(4)矩阵 $A$ 与三阶单位矩阵合同.
(5)矩阵 $A$ 与三阶单位矩阵相似.
$\text{A.}$ (2)(3)(5)
$\text{B.}$ (1)(2)(3)
$\text{C.}$ (1)(3)(4)
$\text{D.}$ (1)(3)(4)(5)
已知三维向量组 $\alpha_1=(-1,2,6)^T, \alpha_2=(2,1,4)^T, \beta_1=(4,-3,2)^T, \beta_2=(-1,-8,4)^T$, 则既可以由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示,也可以由 $\beta_1, \beta_2$ 线性表示的非零向量是
$\text{A.}$ $(13,-1,2)^T$
$\text{B.}$ $(-3,5,-3)^T$
$\text{C.}$ $(3,-11,6)^T$
$\text{D.}$ $(1,3,10)^T$
三阶矩阵 $A=\alpha \alpha^T+4 \beta \beta^T$, 正交矩阵 $Q=(\alpha, \gamma, \beta)$, 则 $x^T\left[(A+E)^*-5 E\right] x$ 在 $x^T x=5$ 下的最大值是
$\text{A.}$ 25
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ -15
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设方程 $x^3+y^3-3 x+6 y=2$, 则 $\left.\frac{d^2 x}{d y^2}\right|_{x=2}=$
$\int_0^{+\infty} \frac{ d x}{1+x^4}=$
设曲线 $\Gamma$ 的极坐标方程为 $r=\sin 2 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\Gamma$ 围成的有界区域绕极轴旋转一周所得旋转体的体积为 .
累次积分 $I=\int_0^1 d y \int_0^{y^2} y \sin (1-x)^2 d x=$
$\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^{\sqrt{t}} d u \int_{u^2}^t \sin y^2 d y}{\left[\left(\frac{2}{\pi} \arctan \frac{x}{t^2}\right)^x-1\right] \arctan t^{\frac{3}{2}}}=$
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 3 & 3 \\ a & b & c \\ 2 & -14 & -10\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 且 $A$ 与 $B$ 相似, 则 $a=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(t)$ 有二阶连续导数， $r=\sqrt{x^2+y^2}, g(x, y)=f\left(\frac{1}{r}\right)$ ，则 $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$ 。
设 $x_n=\underbrace{\sin \sin \cdots \sin x}_{n层}, x \in(-\infty,+\infty)$, 求 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,在 $(0,1)$ 内二阶可导, 且 $f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x) < 0$. 又 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上取得最大值为 $M>0$. 证明: 存在唯一的点 $\xi \in(0,1)$ 内, 使得 $f^{\prime}(\xi)=M$.
设 $f(x, y)$ 在单位圆上有连续的一阶偏导数, 且在边界上取值为零. 证明:
$$
f(0,0)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \frac{-1}{2 \pi} \iint_{D_{\varepsilon}} \frac{x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}}{x^2+y^2} d x d y
$$
其中 $D_{\varepsilon}$ 为圆环域， $\varepsilon^2 \leq x^2+y^2 \leq 1$ 。
设单增光滑曲线 $y=y(x)$ 位于第一象限，当 $x>0$ 时，在区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积 $V(x)$ 与该曲边梯形的面积 $S(x)$ 之比为 $\frac{3}{5} \pi y(x)$ ，且曲线 $y=y(x)$ 过点 $(1,1)$, 求曲线 $y=y(x)$ 的方程.
已知方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+3 x_2+2 x_3+x_4=0 \\ x_2+a x_3-a x_4=0 \\ x_1+2 x_2+3 x_4=0\end{array}\right.$ (1)与方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+b x_2-2 x_3+5 x_4=0 \\ 3 x_1+7 x_2+c x_3+7 x_4=0\end{array}\right.$
(2)同解。
(I) 求 $a, b, c$ 的值;
(II) 求方程组(1)的系数矩阵 $A$ 的列向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的极大线性无关组, 并且将其余列向量用极大线性无关组线性表示;
(III) 求方程组满足 $x_1=x_2$ 的解.