单选题 （共 14 题 ），每题只有一个选项正确
$A , B$ 都是 n 阶矩阵，且 $A B =0$ ，则必有
$\text{A.}$ $A =0$ 或 $B =0$
$\text{B.}$ $| A |=| B |=0$
$\text{C.}$ $A = B =0$
$\text{D.}$ $| A |=0$ 或 $| B |=0$
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，则 $A ^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3}\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 4\end{array}\right), A ^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $A ^*$ 中位于 $(1,2)$ 的元素是
$\text{A.}$ -6
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
设 $A$ 是方阵，如有矩阵关系式 $A B = A C$ ，则必有
$\text{A.}$ $A =0$
$\text{B.}$ $B \neq C$ 时 $A =0$
$\text{C.}$ $A \neq 0$ 时 $B = C$
$\text{D.}$ $| A | \neq 0$ 时 $B = C$
已知 $3 \times 4$ 矩阵 $A$ 的行向量组线性无关，则秩 $\left( A ^{ T }\right)$ 等于（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设两个向量组 $a _1, a _2, \cdots, a _{ s }$ 和 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _s$ 均线性相关，则
$\text{A.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 使 $\lambda_1 a _1+\lambda_2 a _2+\cdots+\lambda_s a _s=0$ 和 $\lambda_1 \beta_1+\lambda_2 \beta_2+\cdots \lambda_s \beta_s=0$
$\text{B.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_{ s }$ 使 $\lambda_1\left( a _1+ \beta _1\right)+\lambda_2\left( a _2+ \beta _2\right)+\cdots+\lambda_{ s }\left( a _{ s }+ \beta _{ s }\right)=0$
$\text{C.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 使 $\lambda_1\left( a _1-\beta_1\right)+\lambda_2\left( a _2-\beta_2\right)+\cdots+\lambda_s\left( a _s-\beta_s\right)=0$
$\text{D.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 和不全为 0 的数 $\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_s$ 使 $\lambda_1 a_1+\lambda_2 a_2+\cdots+$ $\lambda_s a _{ s }=0$ 和 $\mu_1 \beta _1+\mu_2 \beta _2+\cdots+\mu_{ s } \beta _{ s }=0$
设矩阵 $A$ 的秩为 r ，则 $A$ 中（ ）
$\text{A.}$ 所有 $r -1$ 阶子式都不为 0
$\text{B.}$ 所有 $r -1$ 阶子式全为 0
$\text{C.}$ 至少有一个 r 阶子式不等于 0
$\text{D.}$ 所有 r 阶子式都不为 0
设 $A x = b$ 是一非齐次线性方程组，$\eta_1, \eta_2$ 是其任意 2 个解，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $\eta_1+\eta_2$ 是 $A x = 0$ 的一个解
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} \eta_1+\frac{1}{2} \eta_2$ 是 $A x = b$ 的一个解
$\text{C.}$ $\eta_1-\eta_2$ 是 $A x = 0$ 的一个解
$\text{D.}$ $2 \eta_1-\eta_2$ 是 $A x = b$ 的一个解
设 n 阶方阵 $A$ 不可逆，则必有
$\text{A.}$ 秩 $( A ) < n$
$\text{B.}$ 秩 $( A )=n-1$
$\text{C.}$ $A=0$
$\text{D.}$ 方程组 $A x =0$ 只有零解
设 A 是一个 $n (\geqslant 3)$ 阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 如存在数 $\lambda$ 和向量 $a$ 使 $A a =\lambda a$ ，则 $a$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量
$\text{B.}$ 如存在数 $\lambda$ 和非零向量 $a$ ，使 $(\lambda E - A ) a =0$ ，则 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值
$\text{C.}$ A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量
$\text{D.}$ 如 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $A$ 的 3 个互不相同的特征值， $a _1, a _2, a _3$ 依次是 $A$ 的属于 $\lambda_1, \lambda_2$ ， $\lambda_3$ 的特征向量，则 $a _1, a _2, a _3$ 有可能线性相关
n 维向量组 $a_1 \cdots \cdots a_i \quad(2 < I < n)$ 线性无关的充要条件是
$\text{A.}$ 存在一组不全为 0 的常数 $k_1 \cdots \cdots k_i$ 使 $k_1 a_1+\cdots \cdots+k_i a_i \neq 0$
$\text{B.}$ 该组中任意两向量都线性无关
$\text{C.}$ 该组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示
$\text{D.}$ 该组中任意向量都不能用其余向量线性表示
设 $A$ 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）
$\text{A.}$ $\left| A ^2\right|$必为 $1$
$\text{B.}$ $| A |$ 必为 1
$\text{C.}$ $A ^{-1}= A ^{ T }$
$\text{D.}$ $A$ 的行（列）向量组是正交单位向量组
设 $A$ 是实对称矩阵， $C$ 是实可逆矩阵， $B = C ^{ T } A C$ ．则（）
$\text{A.}$ $A$ 与 $B$ 相似
$\text{B.}$ $A$ 与 $B$ 不等价
$\text{C.}$ A 与 B 有相同的特征值
$\text{D.}$ $A$ 与 $B$ 合同
下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 4\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 2 & 6\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 5\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right)$
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 n 元齐次线性方程组 $A X =0$ ，则 $R ( A ) < n$ 是该方程组有非零解的 $\qquad$条件
设 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 4\end{array}\right)$ ．则 $A +2 B =$
对一个 $m \times n$ 矩阵 $A$ 作一次初等列变换相当于在 $A$ 的 $\qquad$边乘上一个 $\qquad$初等矩阵。
设向量 $(2,-3,5)$ 与向量 $(-4,6, a)$ 线性相关，则 $a=$
设 $A$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，其秩为 3 ，若 $\eta_1, \eta_2$ 为非齐次线性方程组 $A x = b$ 的 2 个不同的解，则它的通解为
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $A$ 的秩为 $r ( < n )$ ，则齐次线性方程组 $A x = 0$ 的一个基础解系中含有解的个数为
设 $a =(1, k , 0), b =(0,1, k ), c =( k , 0,1)$ ．如果向量 $a , b , c$ 线性无关，则实数 k 的取值范围是 $\qquad$
设 3 阶矩阵 $A$ 的行列式 $| A |=8$ ，已知 $A$ 有 2 个特征值－ 1 和 4 ，则另一特征值为
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}0 & 10 & 6 \\ 1 & -3 & -3 \\ -2 & 10 & 8\end{array}\right)$ ，已知 $a =\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ 是它的一个特征向量，则 $a$ 所对应的特征值为
设实二次型 $f \left( x _1, x _2, x _3, x _4, x _5\right)$ 的秩为 4 ，正惯性指数为 3 ，则其规范形为
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ -1 & 2 & 1\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \\ -2 & 4 & 0\end{array}\right)$ ．求（1） $A B ^{ T }$ ；（2）$|4 A |$ ．
试计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}3 & 1 & -1 & 2 \\ -5 & 1 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -5 & 3 & -3\end{array}\right|$ ．
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3\end{array}\right)$ ，求矩阵 $B$ 使其满足矩阵方程 $A B = A +2 B$ ．
给定向量组 $a _1=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 3\end{array}\right), a _2=\left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ 2 \\ 4\end{array}\right), a _3=\left(\begin{array}{c}3 \\ 0 \\ 2 \\ -1\end{array}\right), a _4=\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 4 \\ 9\end{array}\right)$ ．试判断 $a _4$ 是否为 $a _1, a_2, a_3$ 的线性组合；若是，则求出组合系数。
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccccc}1 & -2 & -1 & 0 & 2 \\ -2 & 4 & 2 & 6 & -6 \\ 2 & -1 & 0 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 4\end{array}\right)$ ．
求：（1）秩（A）；
（2） $A$ 的列向量组的一个最大线性无关组。
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}0 & -2 & 2 \\ -2 & -3 & 4 \\ 2 & 4 & -3\end{array}\right)$ 的全部特征值为 $1,1$ 和$-8$ ．求正交矩阵 T 和对角矩阵 $D$ ，使 $T ^{-1} A T = D$ ．
试用配方法化下列二次型为标准形
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2-3 x_3^2+4 x_1 x_2-4 x_1 x_3-4 x_2 x_3,
$$
并写出所用的满秩线性变换。
证明：设方阵 $A$ 满足 $A ^3= 0$ ，试证明 $E - A$ 可逆，且 $( E - A )^{-1}= E + A + A ^2$ ．
设 $\eta_0$ 是非齐次线性方程组 $A x = b$ 的一个特解，$\xi_1, \xi_2$ 是其导出组 $A x = 0$ 的一个基础解系．试证明
（1）$\eta_1=\eta_0+\xi_1, \eta_2=\eta_0+\xi_2$ 均是 $A x = b$ 的解；
（2） $\eta _0, \eta_1, \eta_2$ 线性无关。