单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B, C$ 为待定常数，微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=2 e ^x \sin ^2 x$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $A e ^x+x e ^x(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{B.}$ $A e ^x \sin ^2 x$
$\text{C.}$ $A e ^x+ e ^x(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{D.}$ $A e ^x \cos ^2 x$
设 $y_1, y_2$ 是一阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+$ $\mu y_2$ 是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$
设 $y=f(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+4 y=0$ 的一个解，若 $f\left(x_0\right)>0$ ，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，则函数 $f(x)$在点 $x_0$
$\text{A.}$ 取得极大值
$\text{B.}$ 取得极小值
$\text{C.}$ 某个邻域内单调增加
$\text{D.}$ 某个邻域内单调减少
设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y= e ^{3 x}$ 满足初始条件 $y(0)=y^{\prime}(0)=0$ 的特解，则当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{y(x)}$ 的极限
$\text{A.}$ 不存在
$\text{B.}$ 等于 1
$\text{C.}$ 等于 2
$\text{D.}$ 等于 3
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
微分方程 $y^{\prime}=\frac{y(1-x)}{x}$ 的通解是
已知某 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程有特解 $y_1(x)= e ^x \cos 2 x, y_2(x)=x$ ，且方程中 $y^{(n)}$前的系数为 1 ，则最小的 $n=$ $\qquad$ ，该方程为
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求微分方程 $d y=\sin (x+y+100) d x$ 的通解．
设 $L$ 是一条平面曲线，其上任意一点 $P(x, y)(x>0)$ 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距，且 $L$ 经过点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ ．求曲线 $L$ 的方程
设 $F(x)=f(x) g(x)$ ，其中函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足以下条件：
$f^{\prime}(x)=g(x), g^{\prime}(x)=f(x) \text {, 且 } f(0)=0, f(x)+g(x)=2 e^x$
（1）求 $F(x)$ 所满足的微分方程；
（2）求出 $F(x)$ 的表达式．
求 $y d x=(1+x \ln y) x d y(y>0)$ 的通解．
求 $y^{\prime \prime}=\frac{2 x y^{\prime}}{1+x^2}$ 的通解．
求微分方程 $2 y y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^2=0$ 的通解，其中 $y>0$ ．
求微分方程 $\left(x \frac{d y}{d x}-y\right) \arctan \frac{y}{x}=x$ 的通解．
微分方程 $y d x+\left(x-3 y^2\right) d y=0$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=1}=1$ 的解为 $y=$
求微分方程 $y^{\prime}+1= e ^{-y} \sin x$ 的通解．
设函数 $f(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且满足方程 $f(t)= e ^{4 \pi t^2}+\iint_{x^2+y^2 \leq 4 t^2} f\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2}\right) d x d y$ ，求 $f(t)$ ．
求 $(x+2) y^{\prime \prime}+x\left(y^{\prime}\right)^2=y^{\prime}$ 的通解．
求 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 e ^{-x} \cos x+ e ^{2 x}(4 x+5)$ 的通解．
设二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+\alpha y^{\prime}+\beta y=\gamma e ^x$ 的一个特解为 $y^*= e ^{2 x}+(1+x) e ^x$ ．确定常数 $\alpha$ ， $\beta, \gamma$ ，并求该方程的通解．
设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime}-x y=\frac{1}{2 \sqrt{x}} e ^{\frac{x^2}{2}}$ 满足条件 $y(1)=\sqrt{ e }$ 的特解．
（1）求 $y(x)$ ；
（2）设平面区域 $D=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant y(x)\}$ ，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积．