单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是（ ）。
$\text{A.}$ $A =\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $B =\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $C =\left[\begin{array}{lll}1 & -2 & 1 \\ 2 & -4 & 2 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $D =\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right]$
设 $W =\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right]$ ，则与 $W$ 相似的矩阵是 $(\quad$ ）．
$\text{A.}$ $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $B =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $C =\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a & a & a \\ -a & -a & -a\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $D =\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $A$ 是 3 阶方阵，特征值为 $1,2,3$ ，则 $| A |$ 的元素 $a_{11}, a_{22}, a_{33}$ 的代数余子式 $A_{11}, A_{22}, A_{33}$的和 $\sum_{i=1}^3 A_{i i}=$
设 $A$ 是 5 阶方阵，满足 $A ^5= O$ ．则 $| A +3 E |=$
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求矩阵的特征值与特征向量 $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ ；
求矩阵的特征值与特征向量 $B =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ．
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 有特征值 $\lambda$ ，对应的特征向量为 $\xi$ ．求 $k A , A ^2, A ^k, f( A )$ 的特征值和特征向量，其中 $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n$ ．
设 $n$ 阶可逆矩阵 $A$ 有特征值 $\lambda$ ，对应的特征向量为 $\xi$ ．
（1）证明 $\lambda \neq 0$ ；
（2）求 $A ^{-1}, A ^*, E - A ^{-1}$ 的特征值和特征向量．
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，且满足 $A ^2= A$（此时 $A$ 称为幂等矩阵）．
（1）求 $A$ 的特征值可能的取值；
（2）证明： $E + A$ 是可逆矩阵．
证明：$n$ 阶方阵 $A$ 的任意两个不同特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 对应的两个特征向量线性无关．
已知 $\xi _1, \xi _2$ 是 $A$ 的对应于 $\lambda$ 的特征向量，问 $k_1 \xi _1+k_2 \xi _2$（ $k_1, k_2$ 是任意常数）是否属于 $A$ 的对应于 $\lambda$ 的特征向量？
设 $A$ 是 3 阶矩阵，已知 $| E + A |=0,(3 E - A ) x = 0$ 有非零解， $E -3 A$ 不可逆，问 $A$ 是否相似于对角矩阵，说明理由．
（1） $A , B$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 是实对称矩阵．证明 $A$ 相似于 $B$ 的充分必要条件是 $A , B$ 相似于同一个对角矩阵 $\Lambda$ ；
（2）设 $A =\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 0\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{ccc}5 & 0 & 0 \\ -5 & -1 & 3 \\ 4 & 3 & -1\end{array}\right]$ ，问 $A , B$ 是否相似，说明理由．
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是线性无关的 3 维列向量，且满足
$$
A \alpha _1= \alpha _1+ \alpha _2+ \alpha _3, \quad A \alpha _2=2 \alpha _2+ \alpha _3, \quad A \alpha _3=2 \alpha _2+3 \alpha _3 .
$$
（1）求矩阵 $B$ ，使得 $A \left[ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right]=\left[ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right] B$ ；
（2）求矩阵 $A$ 的特征值；
（3）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P ^{-1} A P$ 为对角矩阵．
设
$$
A =\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 2 \\
-2 & -2 & 4 \\
2 & 4 & -2
\end{array}\right]
$$
求正交矩阵 $Q$ ，使 $Q^{-1} A Q$ 为对角矩阵．
设 $A =\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ，求 $A ^n(n \geqslant 2)$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是 $A$ 的两个不同的特征值， $\xi$ 是对应于 $\lambda_1$ 的特征向量，证明： $\xi$ 不是 $\lambda_2$ 的特征向量（即一个特征向量不能属于两个不同的特征值）．