单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设非齐次线性方程组为 $A _{m \times n} x = b$ ，则（ ）．
$\text{A.}$ 当 $r( A )=m$ 时，方程组有解
$\text{B.}$ 当 $r( A )=n$ 时，方程组有唯一解
$\text{C.}$ 当 $m=n$ 时，方程组有唯一解
$\text{D.}$ 当 $r( A ) < n$ 时，方程组有无穷多解
设线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2+\lambda x_3=\mu+1, \\ x_1-4 x_3=\mu-1, \\ x_1+2 x_2-2 x_3=0\end{array}\right.$ 无解，则 $\lambda, \mu$ 应满足条件是（ ）．
$\text{A.}$ $\lambda=-2$ ，但 $\mu \neq-1$
$\text{B.}$ $\mu=0$ ，但 $\lambda \neq 0$
$\text{C.}$ $\lambda=0$ ，但 $\mu \neq 1$
$\text{D.}$ $\lambda=0$ ，但 $\mu \neq-1$
设 $A =\left[ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4\right]$ 是 4 阶矩阵， $A ^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $[1,0,1,0]^{ T }$ 是方程组 $A x = 0$ 的一个基础解系，则 $A ^* x = 0$ 的基础解系可以为（ ）。
$\text{A.}$ $\alpha _1, \alpha _3$
$\text{B.}$ $\alpha _1, \alpha _2$
$\text{C.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$
$\text{D.}$ $\alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$
已知线性方程组
$$
\alpha _1 x_1+ \alpha _2 x_2+ \alpha _3 x_3+ \alpha _4 x_4= \alpha _5
$$
有通解 $[2,0,0,1]^{ T }+k[1,-1,2,0]^{ T }$ ，则下列说法正确的是（ ）．
$\text{A.}$ $\alpha _5$ 可由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表出
$\text{B.}$ $\alpha _4$ 不能由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表出
$\text{C.}$ $\alpha _5$ 不能由 $\alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性表出
$\text{D.}$ $\alpha _4$ 不能由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _5$ 线性表出
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $A x = 0$ 是非齐次线性方程组 $A x = b$ 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）。
$\text{A.}$ 若 $A x = 0$ 仅有零解，则 $A x = b$ 有唯一解
$\text{B.}$ 若 $A x = 0$ 有非零解，则 $A x = b$ 有无穷多解
$\text{C.}$ 若 $A x = b$ 有无穷多解，则 $A x = 0$ 仅有零解
$\text{D.}$ 若 $A x = b$ 有无穷多解，则 $A x = 0$ 有非零解
设 $\xi _1, \xi _2, \xi _3$ 是 $A x = 0$ 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示成（ ）．
$\text{A.}$ $\xi _1, \xi _2, \xi _3$ 的一个等价向量组
$\text{B.}$ $\xi _1, \xi _2, \xi _3$ 的一个等秩向量组
$\text{C.}$ $\xi _1+ \xi _2, \xi _2+ \xi _3, \xi _3+ \xi _1$
$\text{D.}$ $\xi _1- \xi _2, \xi _2- \xi _3, \xi _3- \xi _1$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $r\left( A _{4 \times 4}\right)=2, \eta _1, \eta _2, \eta _3$ 是 $A x = b$ 的 3 个解向量，其中
$$
\left\{\begin{array}{l}
\eta _1- \eta _2=[-1,0,3,-4]^{T}, \\
\eta _1+ \eta _2=[3,2,1,-2]^{T}, \\
\eta _3+2 \eta _2=[5,1,0,3]^{T},
\end{array}\right.
$$
则 $A x = b$ 的通解是
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2-3 x_4-x_5=0, \\
x_1-x_2+2 x_3-x_4=0, \\
4 x_1-2 x_2+6 x_3+3 x_4-4 x_5=0, \\
2 x_1+4 x_2-2 x_3+4 x_4-7 x_5=0
\end{array}\right.
$$
的通解．
求解非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+5 x_2-x_3-x_4=-1 \\
x_1-2 x_2+x_3+3 x_4=3 \\
3 x_1+8 x_2-x_3+x_4=1 \\
x_1-9 x_2+3 x_3+7 x_4=7
\end{array}\right.
$$
并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解。
已知线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4=1, \\
3 x_1+2 x_2+x_3+x_4=a, \\
x_2+2 x_3+2 x_4=3, \\
5 x_1+4 x_2+3 x_3+4 x_4=b .
\end{array}\right.
$$
则 $a, b$ 为何值时，方程组无解？$a, b$ 为何值时，方程组有解？方程组有解时，求其全部解．
已知 $\xi _1=[-9,1,2,11]^{ T }, \xi _2=[1,-5,13,0]^{ T }, \xi _3=[-7,-9,24,11]^{ T }$ 是方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x_1+a_2 x_2+3 x_3+a_4 x_4=d_1, \\
3 x_1+b_2 x_2+2 x_3+b_4 x_4=4, \\
9 x_1+4 x_2+x_3+c_4 x_4=d_3
\end{array}\right.
$$
的三个解，求此方程组的通解．