解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)$ ．
$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2+n^2}\right)$ ．
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{\sqrt[n]{n!}}$ ．
设 $f(x)=\int_0^x \sin (x-t) e^{-t} \mathrm{~d} t$ ，求 $f^{\prime}(x)$ ．
$\int e^x \cos ^2 x \mathrm{~d} x$
讨论 $\int_0^{+\infty} \frac{x^m}{1+x^n} \mathrm{~d} x$ 的敛散性，其中 $m, n \in \mathbb{N}_{+}$．
设函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，令 $z=f(x+y, \arctan (x y))$ ，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma}(x+y+z)^2 \mathrm{~d} S$ ，其中 $\Sigma: x^2+y^2+z^2=R^2(R>0)$ ．
设 $a>0, b>0, a_1=a, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{b}{a_n}\right), n \in \mathbb{N}_{+}$．证明：数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛并计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可导，且 $f(a)=f(b)=0$ ．证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)-2 f(\xi)=0 .
$$
证明函数 $y=\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．
求函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{(1+x)(1+2 x) \cdots(1+n x)}(x \geq 0)$ 的和函数，并讨论其在 $[1,+\infty)$ 上的一致收敛性．
设 $f(u)$ 和 $g^{\prime}(v)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，$L: x^2+y^2=4$ ，取逆时针．$D: x^2+y^2 \leq 4$ ，且
$$
\iint_D(x+y) g^{\prime}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1
$$
计算 $I=\int_L\left[f\left(x^2+y^2\right)+g(x-y)\right](x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)$ ．
计算
$$
I=\iint_{\Sigma} 2 x^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^3 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3\left(z^2-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\Sigma$ 是曲面 $z=1-x^2-y^2(z \geq 0)$ 的上侧．
设 $x_n \neq 0, n \in \mathbb{N}_{+}$，证明：若 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(1-\frac{\left|x_{n+1}\right|}{\left|x_n\right|}\right)=a>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ 绝对收敛．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
解答如下问题．
（1）叙述实数系完备性基本定理中的致密性定理和 Cauchy 收敛准则．
（2）利用致密性定理证明 Cauchy 收敛准则的充分性部分．