解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $E \subset \mathrm{R}^1, m(E)>0$ ，则 $\exists x_0, x_1 \in E$ ，s．t．$x_1-x_0$ 为无理数．
设 $E \subset \mathbb{R}^1, m(E)>0$ ，则 $\exists x_0, x_1 \in E$ ，s．t．$x_1-x_0$ 为有理数。
设 $E$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的 Lebesgue 不可测集．证明：$\exists \varepsilon>0$ ，s．t．对满足：
$$
A \supset E, \quad B \supset E^c
$$
的任意 Lebesgue 可测集 $A$ 与 $B$ ，均有 $m(A \cap B) \geqslant \varepsilon$ ．
设 $\left(\mathbb{R}^n, \mathscr{L}, m\right)$ 为 Lebesgue 测度空间，$E \subset \mathbb{R}^n$ 为 Lebesgue 可测集，$m(E)>0$ ．
（1） $0 < \lambda < 1$ ，证明：存在 $n$ 维开方体 $I$ ，s．t．
$$
\lambda m(I) < m(E \cap I) .
$$
（2）作（向量差）点集
$$
E_{-} E=\{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in E\},
$$
证明：$\exists \delta>0$ ，s．t．
$$
E_{-} E \supset B(\mathbf{0}, \delta)=\left\{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n \mid\|\boldsymbol{x}\| < \delta\right\} .
$$
设 $E \subset \mathbb{R}^1$ 为 Lebesgue 测度空间 $\left(\mathbb{R}^1, \mathscr{L}, m\right)$ 的非空完全集，则 $E$ 的每一点均为 $E$ 的凝点．
（1）构造 $[0,1]$ 上的一个可导函数 $f$ ，其导函数 $f^{\prime}$ 在已给的非空完全疏朗集 $C$上无处连续．
（2）构造 $[0,1]$ 上的一个可导函数 $f$ ，使 $f^{\prime}$ 在 $[0,1]$ 上不连续点全体具有正的 Lebesgue测度．
设 $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 为实函数，如果对 $\forall[\alpha, \beta] \subset(a, b), f$ 为 $[\alpha, \beta]$ 上的 Lebesgue可测函数．证明：$f$ 为 $[a, b]$ 上的 Lebesgue 可测函数．
设 $(X, \mathscr{R})$ 为可测空间，$E$ 为可测集，$f$ 为 $E$ 上的可测函数．证明：对 $\forall c \in \mathbf{R}$ ， $E(f=c)$ 为可测集．
任取 $x \in[0,1], x$ 有小数表示 $x=0 . n_1 n_2 n_3 \cdots$（ 0.2 不取 0.19 ，只用 0.2 表示），定义
$$
\begin{aligned}
& f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, \\
& f(x)= \begin{cases}\max _{1 \leqslant i < +\infty}\left\{n_i\right\}, & x=0 . n_1 n_2 n_3 \cdots, \\
1, & x=1 .\end{cases}
\end{aligned}
$$
设 $(X, \mathscr{R})$ 为可测空间，$E$ 为可测集，$\left\{f_n\right\}$ 为 $E$ 上的一列可测函数，并且 $\left\{f_n\right\}$ 在 $E$上有极限函数 $f$（允许极限值为 $\pm \infty$ ）．证明：$E(f=+\infty), E(f=-\infty)$ 都为可测集，且对 $\forall c \in \mathbb{R}, E(c \leqslant f)$ 也为可测集（即 $f$ 为 $E$ 上的广义可测函数）。
设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的可导函数．证明：$f^{\prime}(x)$ 为 $[a, b]$ 上的 Lebesgue 可测函数．