单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
若 $\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array} \right\rvert\,=6$ ，则 $\left|\begin{array}{ccc}a_{12} & 2 a_{11} & 0 \\ a_{22} & 2 a_{21} & 0 \\ 0 & -2 & -1\end{array}\right|$ 的值为（ ）．
$\text{A.}$ 12 ；
$\text{B.}$ -12 ；
$\text{C.}$ 18 ；
$\text{D.}$ 0.
设 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x & x & 1 & 2 \\ 1 & x & 1 & -1 \\ 3 & 2 & x+2 & 1 \\ x & 1 & 0 & x\end{array}\right|$ ，那么 $f(x)$ 中 $x^4$ 和 $x^3$ 的系数分别为 () 。
$\text{A.}$ $-2,-4$
$\text{B.}$ $-2,4$
$\text{C.}$ 2,0
$\text{D.}$ 2,4
设 $D=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|, A_{i j}$ 为 $D$ 的 $(i, j)$ 元的代数余子式，则 $A_{31}+2 A_{32}+3 A_{33}=$
$\text{A.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$
$\text{B.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right|$
$\text{C.}$ $\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & 2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
$\text{D.}$ $\left|\begin{array}{llc}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & -2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，下列命题中正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O} \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$ ．
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ．
$\text{C.}$ 若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$ ．
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}$ ，则 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ ．
设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3$ ，则 $\left|A^2+2 A\right|=()$
$\text{A.}$ 36
$\text{B.}$ 72
$\text{C.}$ 360
$\text{D.}$ 720
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right), M_{3 j}$ 是 $A$ 的第 3 行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,1)$.则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ -2 .
$\text{D.}$ -3 .
设 $A, B, C, D$ 是四个 4 阶矩阵, 其中 $A, D$ 为非零矩阵, $B, C$ 可逆, 且满足 $A B C D=O$, 若 $r (A)+$ $r (B)+ r (C)+ r (D)= r$, 则 r 的取值范围是
$\text{A.}$ $r < 10$.
$\text{B.}$ $10 \leqslant r \leqslant 12$
$\text{C.}$ $12 < r < 16$
$\text{D.}$ $r \geqslant 16$
设向量组 $a_1, a_2, a_3$ 的秩为 2 ，则下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ 该向量组中必有两个向量线性无关
$\text{B.}$ 该向量组中任意两个向量都线性无关
$\text{C.}$ 该向量组中每个向量都可由其他两个向量线性表示
$\text{D.}$ 该向量组中存在一个向量可由其他两个向量线性表示
已知 4 维列向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
$\text{A.}$ $\alpha _1- \alpha _2, \alpha _2- \alpha _3, \alpha _3- \alpha _4, \alpha _4- \alpha _1$
$\text{B.}$ $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _4, \alpha _4+ \alpha _1$
$\text{C.}$ $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3- \alpha _4, \alpha _4- \alpha _1$
$\text{D.}$ $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _4, \alpha _4- \alpha _1$
设 $n$ 维列向量 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m m < n$ 线性无关，则 $n$ 维列向量 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 线性无关的充要条件为（ ）
$\text{A.}$ 向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 可由向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 线性表示．
$\text{B.}$ 向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 可由向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 线性表示．
$\text{C.}$ 向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 与向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 等价
$\text{D.}$ 矩阵 $A = \alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 与矩阵 $B = \beta _1, \cdots, \beta _m$ 等价
设 $\xi _1, \xi _2, \xi _3$ 是 $A x = 0$ 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示成（ ）．
$\text{A.}$ $\xi _1, \xi _2, \xi _3$ 的一个等价向量组
$\text{B.}$ $\xi _1, \xi _2, \xi _3$ 的一个等秩向量组
$\text{C.}$ $\xi _1+ \xi _2, \xi _2+ \xi _3, \xi _3+ \xi _1$
$\text{D.}$ $\xi _1- \xi _2, \xi _2- \xi _3, \xi _3- \xi _1$
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $A x = 0$ 是非齐次线性方程组 $A x = b$ 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）。
$\text{A.}$ 若 $A x = 0$ 仅有零解，则 $A x = b$ 有唯一解
$\text{B.}$ 若 $A x = 0$ 有非零解，则 $A x = b$ 有无穷多解
$\text{C.}$ 若 $A x = b$ 有无穷多解，则 $A x = 0$ 仅有零解
$\text{D.}$ 若 $A x = b$ 有无穷多解，则 $A x = 0$ 有非零解
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则下列 4 个命题
（1）若 $r( A )=m$ ，则非齐次线性方程组 $A x = b$ 必有解；
（2）若 $r( A )=m$ ，则齐次线性方程组 $A x = 0$ 只有零解；
（3）若 $r( A )=n$ ，则非齐次线性方程组 $A x = b$ 有唯一解；
（4）若 $r( A )=n$ ，则齐次线性方程组 $A x = 0$ 只有零解中正确的是
$\text{A.}$ （1）（3）．
$\text{B.}$ （1）（4）．
$\text{C.}$ （2）（3）．
$\text{D.}$ （2）（4）．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的 3 个特征值为 $2,2,3$ ．已知 $\alpha_1, \alpha_2$ 是相应于 $\lambda=2$ 的线性无关的特征向量，$\alpha_3$ 是相应于 $\lambda=3$ 的特征向量．若 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{P}$ 不能是
$\text{A.}$ $\left(\alpha_1, 2 \alpha_2, \alpha_3\right)$ ．
$\text{B.}$ $\left(\alpha_2, \alpha_1,-\alpha_3\right)$ ．
$\text{C.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_2, 2 \alpha_2, \alpha_3\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(3 \alpha_3, 2 \alpha_2, \alpha_1\right)$ ．
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+12 x_2 x_3$ 是（ ）。
$\text{A.}$ 正定的
$\text{B.}$ 半正定的
$\text{C.}$ 负定的
$\text{D.}$ 不定的
设 A 为 n 阶实对称矩阵，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ A 的特征值一定都是实数
$\text{B.}$ A一定与对角矩阵相似
$\text{C.}$ A 一定是正交矩阵
$\text{D.}$ A的特征向量一定两两正交
设 $A$ 是 3 阶矩阵， 0 是 $A$ 的单特征值， $\alpha$ 是满足 $A \alpha= 0$ 的非零向量. 若对满足 $\beta^{ T } \alpha=0$ 的 3维列向量 $\beta$ ，均有 $A ^2 \beta=\beta$ ，则（）
$\text{A.}$ $A ， A ^2$ 均能相似对角化.
$\text{B.}$ $A$ 不能相似对角化， $A ^2$ 能相似对角化.
$\text{C.}$ $A$ 能相似对角化， $A ^2$ 不能相似对角化.
$\text{D.}$ $A ， A ^2$ 均不能相似对角化.
设 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{llll}4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则矩阵 $A$ 和$B$
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 不合同但相似
$\text{D.}$ 不合同也不相似
设矩阵 $H =\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right]$ ，则与 $H$ 相似的矩阵是（ ）。
$\text{A.}$ $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $B =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $C =\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a & a & a \\ -a & -a & -a\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $D =\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{array}\right)$ 是三阶可逆矩阵，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}b_{12} & 2 b_{11} & -3 b_{13} \\ b_{22} & 2 b_{21} & -3 b_{23} \\ b_{32} & 2 b_{31} & -3 b_{33}\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 相似于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3\end{array}\right)$ ．
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3\end{array}\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0\end{array}\right)$ ．