【33776】 【 同济大学2019-2020高等数学AB(上)期中考卷及解答】 填空题 设函数 $y=y(x)$ 由方程 $2^{x y}=x+y$ 所确定，则 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=0}=$

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【33775】 【 同济大学2019-2020高等数学AB(上)期中考卷及解答】 填空题 设函数 $f(x)=x \sqrt{4-x^2}+4 \arcsin \frac{x}{2}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$

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【33774】 【 同济大学2019-2020高等数学AB(上)期中考卷及解答】 填空题 极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(2^x-1\right) \cdot(1-\cos x) \cdot \arctan x}{\ln \left(1+x^2\right) \cdot\left(\sqrt{1+2 x^2}-1\right)}=$

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【33773】 【 同济大学2019-2020高等数学AB(上)期中考卷及解答】 填空题 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上满足 $2 f(1+x)-f(1-x)=\mathrm{e}^x$ ，则 $f(x)=$

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【33772】 【 同济大学2019-2020高等数学AB(上)期中考卷及解答】 填空题 函数 $y=\cos \frac{\pi x}{x^2+4}$ 的定义域为 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，则它的值域为

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【33771】 【 实数运算之错位相减模型】 解答题 10．【阅读理解】 求若干个相同的有理数（均不等于 0 ）的除法运算叫做除方，如： $5 \div 5 \div 5,(-8) \div(-8) \div (-8) \div(-8)$ 等，类比有理数的乘方，我们把 $5 \div 5 \div 5$ 记作 $5^{(3)}$ ，读作＂ 5 的圈 3 次方＂，$(-8) \div (-8) \div(-8) \div(-8)$ 记作 $(-8)^{(4)}$ ，读作＂-8 的圈 4 次方＂，一般的，把 $\underbrace{a \div a \div a \div \cdots \div a}_{n \uparrow a}$ 记作 $a^{(n)}$ ，读作 $a$ 的圈 $n$ 次方＂． （1）直接写出计算结果：$(-6)^{(4)}=$ $\_\_\_\_$ ； 【类比探究】 （2）有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试，将下列运算结果直接写成幂的形式： $$ \begin{aligned} & \left(-\frac{1}{7}\right)^{(10)}=\ldots \quad(n \geq 2 \text { 且 } n \text { 为正整数 }) ; ~ \\ & \left(-\frac{1}{a}\right)^{(10)}=\quad(n \geq 2 \text { 且 } n \text { 为正整数 }) ; ~ \end{aligned} $$ 【实践应用】 （3）计算： （1）$\left(-\frac{1}{4}\right)^{\text {（4）}} \times(-4)^{\text {（5）}}-\left(\frac{1}{3}\right)^{\text {（4）}} \div 6^{\text {（3）}}$ ； （2）$\left(\frac{1}{5}\right)^{\text {（3）}}+\left(\frac{1}{5}\right)^{\text {（4）}}+\left(\frac{1}{5}\right)^{\text {（5）}}+...+\left(\frac{1}{5}\right)^{\text {（10）}} \quad$（其中 $n=2022$ ）．

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【33770】 【 实数运算之错位相减模型】 解答题 阅读材料：求 $1+2+2^2+\cdots+2^{2023}+2^{2024}$ 的值． 解：设 $S=1+2+2^2+\cdots+2^{2023}+2^{2024}$ 将等式两边同时乘以 2 ，得 $2 S=2+2^2+2^3+\cdots+2^{2024}+2^{2025}$ 将下式减去上式，得 $S=2^{2025}-1$ 即 $1+2+2^2+\cdots+2^{2023}+2^{2024}=2^{2025}-1$ 请你仿照此法计算： （1） $1+3+3^2+3^3+...+3^{10}$ （2）$\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{5^{19}}$

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【33769】 【 实数运算之错位相减模型】 填空题 观察下列运算过程： $$ S=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{2016}+3^{2017}, $$ （1）$\times 3$ ，得 $3 S=3+3^2+3^3+\cdots+3^{2017}+3^{2018}$ ， （2）－（1），得 $2 S=3^{2018}-1, S=\frac{3^{2018}-1}{2}$ ． 用上面的方法计算： $1+5+5^2+5^3+\cdots+5^{2017}$ ．

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【33768】 【 实数运算之错位相减模型】 填空题 计算： $1-5+5^2-5^3+5^4-5^5+\cdots+5^{2020}-5^{2021}+5^{2022}-\frac{5^{2023}}{6}=$

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【33767】 【 实数运算之错位相减模型】 填空题 《庄子•天下篇》中记载道：＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂．这句话的意思是：＂一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完＂．根据这句话计算： $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{2023}}+ \frac{1}{2^{2024}}=$

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