【33731】 【 2025年11月湖南高三年级数学大联考】 解答题 如图，$\triangle B C D$ 内接于圆柱的下底面圆，$B C$ 是圆柱下底面圆的直径，$A B$ 是圆柱的母线， $\angle C B D=\frac{\pi}{6}$ ，且 $A B=3, B C=4$ ． （1）求点 $C$ 到平面 $A B D$ 的距离； （2）$P$ 是圆柱上底面圆周上一点，若二面角 $P-C D-B$ 的大小为 $\frac{\pi}{3}$ ，求 $A P$ ． [img=/uploads/2025-11/4a4635.jpg][/img]

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【33730】 【 2025年11月湖南高三年级数学大联考】 解答题 记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，已知 $a_1=2$ ，且 $\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）设 $b_n=\frac{n \cdot 2^n}{S_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【33729】 【 2025年11月湖南高三年级数学大联考】 解答题 有 6 张卡片，上面分别标有数字 $1,2,3,4,5,6$ ，从中每次随机抽取 1 张卡片，连续抽取两次，记抽到的卡片上的数字依次为 $m, n$ ． （1）若有放回地抽取，记事件 $A$ 为＂$m+n=4$＂，求 $P(A)$ ； （2）若无放回地抽取，记 $X=|m-n|$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望．

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【33728】 【 2025年11月湖南高三年级数学大联考】 填空题 已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $x+m y=0$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $\angle A O F=\angle A F B$（ $O$ 为坐标原点），且 $\overrightarrow{O F} \cdot \overrightarrow{A B}=10 a^2$ ，则 $C$ 的离心率为

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【33727】 【 2025年11月湖南高三年级数学大联考】 填空题 在正四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A A_1=2$ ，且四棱锥 $C-B D D_1 B_1$ 的体积为 6 ，则 $A B=$

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【33726】 【 2025年11月湖南高三年级数学大联考】 填空题 已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\frac{a_1 a_2}{a_4 a_5}=4, a_3=1$ ，则 $a_6=$

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【33725】 【 2025年11月湖南高三年级数学大联考】 多选题 已知函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^x(x+a)}{x-1}$ ，其中 $a \in \mathbf{R}$ 且 $a \neq-1$ ，则下列说法正确的是

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【33724】 【 2025年11月湖南高三年级数学大联考】 多选题 已知样本数据 $5,6,5,8,5, x$ 的中位数与平均数相等，则

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【33723】 【 2025年11月湖南高三年级数学大联考】 多选题 在平行四边形 $A B C D$ 中， $\overrightarrow{B E}=\frac{1}{4} \overrightarrow{B D}, \overrightarrow{F C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{D C}$ ，记 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{m}, \overrightarrow{A D}=\boldsymbol{n}$ ，则下列说法正确的是

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【33722】 【 2025年11月湖南高三年级数学大联考】 单选题 设某地海拔（单位： m ）为 $h_1$ 处的大气压（单位： kPa ）为 $p_1$ ，海拔为 $h_2$ 处的大气压为 $p_2$ ，且满足 $\ln \frac{p_1}{p_2}=\frac{M g\left(h_2-h_1\right)}{R T}$ ，其中 $M, g, R$ 都是大于零的常数，$T$ 表示海拔 $h_1 \sim h_2$ 的平均气温（单位： K ），记该地海拔为 0 m 处的大气压为 $p_0$ ，下表列出了不同季节 $\ln p_0$ 的数据： [img=/uploads/2025-11/ddce7f.jpg,WIDTH=500PX][/img] 若某天该地海拔 $0 \sim 1000 \mathrm{~m}$ 的平均气温为 300 K ，海拔 $1000 \sim 2000 \mathrm{~m}$ 的平均气温为 285 K ，该地海拔 1000 m 处的大气压为 90 kPa ，海拔 2000 m 处的大气压为 80 kPa ，则这一天的季节为附： $\ln 2 \approx 0.7, \ln 3 \approx 1.1, \ln 5 \approx 1.6$ ．

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