【33756】 【 华南理工大学2025年数学分析真题解答(来自公众号数学考研李扬)】 解答题 计算曲面积分 $F(t)=\iint_{x+y+z=t} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ ，其中 $$ f(x, y, z)= \begin{cases}1-x^2-y^2-z^2, & x^2+y^2+z^2 \leq 1 \\ 0, & x^2+y^2+z^2>1\end{cases} $$

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【33755】 【 华南理工大学2025年数学分析真题解答(来自公众号数学考研李扬)】 解答题 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4 n-1}}{4 n+1}$ 的收敛域与和函数 $S(x)$ ．

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【33754】 【 华南理工大学2025年数学分析真题解答(来自公众号数学考研李扬)】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，证明：存在折线函数列 $\left\{f_n(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ ，使得 $$ \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x $$

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【33753】 【 华南理工大学2025年数学分析真题解答(来自公众号数学考研李扬)】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，$f(0)=1$ ．证明： （1）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f(1)=(1+\xi) f^{\prime}(\xi) \ln 2+1$ ． （2） $\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{1+x}-1)=\ln (1+x), x \in(0,1)$ ．

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【33752】 【 华南理工大学2025年数学分析真题解答(来自公众号数学考研李扬)】 解答题 设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0) ; \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 证明： （1）若 $g(0,0)=0, g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微且 $\mathrm{d} g(0,0)=0$ ．则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，且 $\mathrm{d} f(0,0)=0$ ． （2）若 $g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处有偏导数且 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\mathrm{d} f(0,0)=0$ ．

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【33751】 【 华南理工大学2025年数学分析真题解答(来自公众号数学考研李扬)】 解答题 证明不等式 $\frac{1}{\sin ^2 x} \leq \frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2}\left(0<x \leq \frac{\pi}{2}\right)$ ．

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【33750】 【 华南理工大学2025年数学分析真题解答(来自公众号数学考研李扬)】 解答题 证明函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x} \ln x, & x>0 ; \\ 0, & x=0 .\end{array}\right.$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．

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【33749】 【 华南理工大学2025年数学分析真题解答(来自公众号数学考研李扬)】 解答题 已知数列 $x_0=a>0, x_n=\arctan x_{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ．证明： （1） $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ． （2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{2 n}{3}} x_n=1$ ．

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【33748】 【 2025年11月湖南高三年级物理大联考】 解答题 如图所示，木板 $A$ 放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧 $M 、 N$ 与桌面上的两个固定挡板相连。小物块 $B$ 放在 $A$ 的最左端，通过一条跨过轻质定滑轮的轻绳与带正电的小球 $C$ 相连，轻绳绝缘且不可伸长，$B$ 与滑轮间的绳子与桌面平行。桌面右侧存在一坚直向上的匀强电场，初始时在电场力的作用下 $A 、 B 、 C$ 均静止，$M 、 N$ 处于原长状态，轻绳处于自然伸直状态。 $t=0$ 时撤去电场，$C$ 向下加速运动，下降一段距离后开始匀速运动，$C$ 开始做匀速运动瞬间弹簧 $N$ 的弹性势能为 0.1 J 。已知 $A 、 B 、 C$ 的质量分别为 $0.2 \mathrm{~kg} 、 0.5 \mathrm{~kg} 、 0.3 \mathrm{~kg}$ ，匀强电场的电场强度大小为 $E=3 \times 10^6 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$ ，重力加速度大小 g 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，弹簧弹性势能与劲度系数、形变量之间的关系满足 $E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} k x^2$ ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内，轻绳与滑轮间的摩擦力不计。 （1）求小球 $C$ 的带电量； （2）求 $A$ 与 $B$ 间的动摩擦因数及 $C$ 做匀速运动时的速度大小； （3）若 $t=0$ 时电场方向改为坚直向下，$B$ 与 $A$ 发生相对滑动后，$A 、 B$ 继续向右运动，一段时间后，$A$ 从右向左运动。求 $A$ 第一次从右向左运动过程中的最大速度（整个过程 $B$末与 $A$ 脱离，$C$ 末与地面相碰）。 [img=/uploads/2025-11/b5eb68.jpg][/img]

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【33747】 【 2025年11月湖南高三年级物理大联考】 解答题 ＂转碟＂是传统的杂技项目，如图所示，一质量为 $m$ 可视为质点的发光物体放在半径为 $r$ 的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕中心 $A$ 点做圆周运动，重力加速度为 $g$ 。 （1）当碟子的角速度为 $\omega_1$ 时，发光物体和碟子保持相对静止做匀速圆周运动，求此时发光物体受到碟子的作用力大小； （2）若碟子半径为 $r=0.25 \mathrm{~m}$ ，发光物体与碟子间的动摩擦因数为 $\mu=0.5$ ，重力加速度 $g$取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。使碟子从静止开始转动，发光物体做加速圆周运动，切向加速度大小恒为 $a=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求经过多长时间发光物体和碟子将发生相对滑动。 [img=/uploads/2025-11/a32f96.jpg][/img]

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