【33766】 【 实数运算之错位相减模型】 填空题 计算 $1+3+3^2+\cdots+3^{100}$ 的值时，令 $S=1+3+3^2+\cdots+3^{100}$ ，则 $3 S=3+3^2+3^3+\cdots +3^{100}+3^{101}$ ，因此 $3 S-S=3^{101}-1$ ，所以 $S=\frac{3^{101}-1}{2}$ ．仿照以上推理，计算： $1-4+4^2- 4^3+4^4-4^5+\cdots 4^{2020}-4^{2021}=$

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【33765】 【 实数运算之错位相减模型】 填空题 为了求 $1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{2011}$ 的值，可令 $S=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{2011}$ ，则 $3 S= 3+3^2+3^3+\cdots+3^{2012}$ ，因此 $3 S-S=3^{2012}-1$ 所以 $S=\frac{3^{2012}-1}{2}$ ，仿照以上推理计算出 $S=1+7+7^2+7^3+\cdots+7^{2021}$ 的值是

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【33764】 【 实数运算之错位相减模型】 单选题 在求 $1+6+6^2+6^3+6^4+6^5+6^6+6^7+6^8+6^9$ 的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 6 倍，于是她设：$S=1+6+6^2+6^3+6^4+6^5+6^6+6^7+ 6^8+6^9(1)$ ，然后在（1）式的两边都乘以 6 ，得 $6 S=6+6^2+6^3+6^4+6^5+6^6+6^7+6^8+6^9+ 6^{10}(2)$ ，（2）－（1）得 $6 S-S=6^{10}-1$ ，即 $5 S=6^{10}-1$ ，所以 $S=\frac{6^{10}-1}{5}$ 得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把＂ 6 ＂换成字母＂$a$＂$(a \neq 0$ 且 $a \neq 1)$ ，能否求出 $1+a+a^2+a^3+a^4+\cdots+a^{2023}$的值？你的答案是

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【33763】 【 实数运算之错位相减模型】 单选题 求 $1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{2024}$ 的值，可令 $S=1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{2024}$ ，则 $2 S=2+ 2^2+2^3+2^4+\cdots+2^{2025}$ ，因此 $2 S-S=2^{2025}-1$ ．仿照以上方法，计算出 $1+5+5^2+5^3+ \cdots+5^{2024}$ 的值为

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【33762】 【 实数运算之错位相减模型】 单选题 小明为了求 $1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{100}$ 的值，进行了以下探究：他令 $M=1+2+2^2+2^3+\mathrm{L}+2^{100}$ ，在等式两边同乘 2 得， $2 M=2+2^2+2^3+2^4+\mathrm{L}+2^{101}$ ，因此 $2 M-M=2^{101}-1$ ，所以 $M=2^{101}-1$ ．即 $1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{100}=2^{101}-1$ ．请仿照以上推理计算： $1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{2023}$ 的值为

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【33761】 【 实数运算之错位相减模型】 单选题 为了求 $1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{2023}$ 的值，可令 $S=1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{2023}$ ，则 $2 S=2+2^2+2^3+2^4 \cdots+2^{2024}$ ，因此 $2 S-S=2^{2024}-1$ ，所以 $1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{2023}=2^{2024}-1$ ．请仿照以上推理计算出 $1+4+4^2+4^3+\cdots+4^{2023}$ 的值是

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【33760】 【 华南理工大学2025年数学分析真题解答(来自公众号数学考研李扬)】 解答题 设函数列 $f_n(x)=n x e^{-n^2 x^2}, x \in[0,1], n=1,2, \cdots$ ．证明： （1）$\left\{f_n(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $[0,1]$ 上收敛于 $f(x) \equiv 0$ ． （2）$\left\{f_n(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $[0,1]$ 上是否一致收敛于 $f(x) \equiv 0$ ？判断并给出理由． （3）$\left\{f_n(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $[0,1]$ 上积分平均收敛于 $f(x) \equiv 0$ ，即 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1\left|f_n(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0$ ．

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【33759】 【 华南理工大学2025年数学分析真题解答(来自公众号数学考研李扬)】 解答题 设 $u=x+y, v=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ ，试用新变量 $u, v$ 变换等式 $$ x^2 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-\left(x^2+y^2\right) \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+y^2 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0 . $$ （假设所有出现的二阶偏导数都连续）

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【33758】 【 华南理工大学2025年数学分析真题解答(来自公众号数学考研李扬)】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，试证： $$ \int_0^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=[f(0)-k] \ln \frac{b}{a}(a>0, b>0) . $$

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【33757】 【 华南理工大学2025年数学分析真题解答(来自公众号数学考研李扬)】 解答题 设 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 有意义（有限数或 $+\infty$ 或 $\left.-\infty\right)$ ．证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

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