【30060】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，在 $(0,1)$ 内二阶连续可导，证明：至少存在一点 $\xi \in (0,1)$ ，使得 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}f(0)+\frac{1}{2}f(1)-\frac{1}{8}{f}^{\prime \prime }(\xi )$

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【30059】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 求极限 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1-x-\frac{x}{2}\sin x}{\sin x-x\cos x}$ ．

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【30058】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $$f^{\prime }(\xi )=2\xi [f(1)-f(0)]$$

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【30057】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $[a,b]$ 上可导，且 $f(a)=f(b)=1$ ，证明：$\mathrm{\exists }\xi ,\eta \in (a,b)$ ，使得 $e^{\eta -\xi }[f^{\prime }(\eta )+f(\eta )]=1$ 成立．

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【30056】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 $0<a<b$ ，证明：$\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$ ，使得 $a\ln b-b\ln a=(a{b}^2-b{a}^2)\frac{1-\ln \xi }{{\xi }^2}$ ．

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【30055】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 证明当 $x>0$ 时，$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$ ．

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【30054】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 0,1 上可导，$f(1)=C$ ，证明：在 0,1 内存在 $\xi$ ，使得 $f^{\prime }(\xi )=-\frac{f(\xi )}{\xi }$.

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【30053】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 若 $f(x)=\ln \cos x$ 是定义在区间 $[-\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{5}]$ 上的函数，证明存在一点 $\xi$ ，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$ ．

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【30052】 【 闭区间套序列、有限子覆盖】 证明题 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上无界，试证明存在 $x_0\in [a,b]$ ，对任意的 $\delta >0$ ，使得 $f(x)$ 在 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$ 上无界。

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【30051】 【 闭区间套序列、有限子覆盖】 证明题 设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上不是常数（函数），则存在 $x_0\in (a,b)$ 以及 $D>0$ ，使得对任意的 $\delta >0$ ，存在 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )\cap (a,b)$ ，有 $$\left|[f\left(x^{\prime }\right)-f\left(x^{\prime \prime }\right)]/(x^{\prime }-x^{\prime \prime })\right|⩾l.$$

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