【33896】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 解答题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right]$ ，已知线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 有解，但不唯一。 1．求 $a$ 的值； 2．求正交矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$ 为对角阵。

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【33895】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 解答题 讨论$\lambda$取何值时，方程组有解，并求 $$ \left\{\begin{array}{l} (1+\lambda) x_1+x_2+x_3=1 \\ x_1+(1+\lambda) x_2+x_3=\lambda \\ x_1+x_2+(1+\lambda) x_3=\lambda^2 \end{array}\right. $$

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【33894】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 解答题 计算行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccccccc} 9 & 5 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 9 & 5 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 9 & 5 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 4 & 9 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 4 & 9 \end{array}\right|$

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【33893】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 证明题 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，秩（ $\boldsymbol{A}$ ）$=r$ ，证明： $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$ 的充分必要条件是存在 $r \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和 $n \times r$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C B}$ ，且 $\boldsymbol{B C}=\boldsymbol{I}_r$ ，其中秩 $(\boldsymbol{B})=$ 秩 $(\boldsymbol{C})=r$ ， $\boldsymbol{I}_r$ 为 $r$ 阶单位阵。

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【33892】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 解答题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & b & a \\ a & b & 0 & 0 \\ b & a & 0 & 0\end{array}\right]$ ，其中 $a, b$ 是实数，$a \neq 0, b \neq 0,|a| \neq|b|$ 。 1．求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值以及长度为 1 的特征向量。 2．当 $n$ 为正整数时，计算 $[1,0,0,0] \boldsymbol{A}^n[1,0,0,0]^{\mathrm{T}}$ 。

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【33891】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 解答题 已知二次型 $$ f=\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+2 a x_2 x_3(a>0) $$ 通过正交变换可化为标准形 $f=y_1^2+2 y_2^2+5 y_3^2$ ，求参数 $a$ 及所作的正交变换。

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【33890】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 解答题 设方阵 $$ \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ b & c & 0 \end{array}\right] $$ 1．$a, b, c$ 满足何关系， $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵。 2．$a, b, c$ 为何值时， $\boldsymbol{A}$ 为对称矩阵。 3．$a, b, c$ 为何值时， $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵。

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【33889】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 解答题 设有线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3 \\ x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3 \\ x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3 \\ x_1+a_4 x_2+a_4^2 x_3=a_4^3 \end{array}\right. $$ 1．证明：若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不相等，则此线性方程组无解。 2．设 $a_1=a_3=k, a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ ，求方程组的通解。

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【33888】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 解答题 计算 $D_n=\left|\begin{array}{cccc} 1+a_1 & 1 & \cdots & 1 \\ 2 & 2+a_2 & \cdots & 2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & n & \cdots & n+a_n \end{array}\right|$ ,$a_i \ne 0$

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【33887】 【 Lebesgue可积函数的连续性】 解答题 设 $f$ 在 $[a, b]$ 上 Lebesgue 可积．证明： $$ \begin{aligned} & \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\pi}{2} \int_a^b f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \\ & \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\pi}{2} \int_a^b f(x)|\cos n x| \mathrm{d} x=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \end{aligned} $$

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