【33926】 【 空间向量及其运算】 解答题 已知一四面体的顶点为 $A_k\left(x_k, y_k, z_k\right)(k=1,2,3,4)$ ，求该四面体的体积．

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【33925】 【 空间向量及其运算】 解答题 设向量 $\vec{a}=\vec{i}+2 \vec{j}-\vec{k}, \vec{b}=-\vec{i}+\vec{j}$ ． （1）计算 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 及 $\vec{a} \times \vec{b}$ ； （2）求它们夹角 $\theta$ 的正弦与余弦； （3）求垂直两向量所在平面的单位向量．

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【33924】 【 空间向量及其运算】 填空题 设有一向量与 $x$ 轴正向、 $y$ 轴正向的夹角相等，而与 $z$ 轴正向的夹角是前者的两倍，求与该向量同方向的单位向量．

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【33923】 【 空间向量及其运算】 填空题 已知向量 $\vec{a}=(2,-3,6), \vec{b}=(-1,2,-2)$ ，又向量 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角的平分线上，且 $|\vec{c}|=3 \sqrt{42}$ ，求向量 $\vec{c}$

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【33922】 【 空间向量及其运算】 填空题 设点 $A$ 位于第一卦限，向径 $\overrightarrow{O A}$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴的夹角依次为 $\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}$ ，且 $|O A|=6$ ，求点 $A$ 的坐标

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【33921】 【 空间向量及其运算】 填空题 设 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=2$ ，则 $[(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})] \cdot(\vec{c}+\vec{a})=$

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【33920】 【 空间向量及其运算】 单选题 若非零向量 $\mathbf{a , b}$ 满足关系式 $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=|\mathbf{a}+\mathbf{b}|$ ，则必有

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【33919】 【 空间向量及其运算】 单选题 设 $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ 为非零矢量，且 $\vec{A} \cdot \vec{B}=0, \vec{A} \times \vec{C}=0$ ，则

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【33918】 【 皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题】 解答题 已知圆 $\mathrm{O}: x^2+y^2=1$ ，点 $\mathrm{M}(1,4)$ ． （1）过 M 作圆 O 的切线，求切线的方程． （2）过圆 $O$ 上一点 $P\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 作两条相异直线分别与圆O相交于 $A, B$ 两点，且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补．求证：直线 AB 的斜率为定值． （3）已知点 $\mathrm{D}(2,8)$ ，设 Q 为满足方程 $\left(Q D^2+Q O^2=106\right.$ 的任意一点，过点 Q 向圆 O 引切线，切点为 E ，试探究：平面内是否存在一定点 T ，使得 $\frac{Q E^2}{Q T^2}$ 为定值？若存在，请求出定点 T 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．

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【33917】 【 皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题】 解答题 如图所示，在直三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_1 \mathrm{~B}_1 \mathrm{C}_1$ 中， $\mathrm{AB} \perp \underline{\mathrm{AC}}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{CC}_1=1$ ， E 是线段 $\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$ 上的动点（不与点 $\mathrm{B}_1, \mathrm{C}_1$ 重合），且满足 $\overrightarrow{B_1 E}=\lambda \overrightarrow{B_1 C_1}$ ，实数 $\lambda \in(0,1)$ ． （1）当 $\lambda=\frac{1}{2}$ 时，证明： $\mathrm{A} 1 \mathrm{E} \perp$ 平面 EBC ； （2）当 $\lambda=\frac{1}{3}$ 时，求二面角 $E-A_1 B-B_1$ 的余弦值； （3）求四面体 $\mathrm{EA}_1 \mathrm{BC}$ 的外接球半径的取值范围． [img=/uploads/2025-11/3efe8b.jpg][/img]

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